Страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Отрезок $AB$ длиной 4 см при повороте около точки $A$ на $90^{\circ}$ переходит в отрезок $AB_1$. Найдите длину отрезка $BB_1$.

По условию задачи отрезок $AB$ длиной 4 см при повороте около точки A на $90^\circ$ переходит в отрезок $AB_1$. Необходимо найти длину отрезка $BB_1$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$, который образуется точками A, B и образом точки B, точкой $B_1$.

1. Поворот является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Точка A — центр поворота, поэтому она остается неподвижной. Расстояние от центра поворота до любой точки фигуры сохраняется. Следовательно, расстояние от A до B равно расстоянию от A до $B_1$. Таким образом, мы имеем $AB = AB_1 = 4$ см.

2. Угол поворота по определению равен углу между отрезками, соединяющими центр поворота (A) с исходной точкой (B) и ее образом ($B_1$). Значит, угол $\angle BAB_1 = 90^\circ$.

В результате мы получили треугольник $ABB_1$, в котором:

• сторона $AB = 4$ см,
• сторона $AB_1 = 4$ см,
• угол между этими сторонами $\angle BAB_1 = 90^\circ$.

Это означает, что треугольник $ABB_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, где $AB$ и $AB_1$ — катеты, а искомый отрезок $BB_1$ — гипотенуза.

Для нахождения длины гипотенузы $BB_1$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2$

Подставим известные значения в формулу:

$BB_1^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

Чтобы найти длину $BB_1$, извлечем квадратный корень из 32:

$BB_1 = \sqrt{32}$

Упростим полученное значение:

$BB_1 = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Таким образом, длина отрезка $BB_1$ составляет $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

2.28. Даны точка $O$ и прямая $m$. Постройте прямую $m'$, которая получается поворотом прямой $m$ около точки $O$ (против хода часовой стрелки) на $60^\circ$. Рассмотрите случай:

1) $O \notin m$;

2) $O \in m$.

1) $O \notin m$

Поскольку поворот является движением (изометрией), образом прямой при повороте будет прямая. Для построения искомой прямой $m'$ можно использовать следующий алгоритм:
1. Из центра поворота, точки $O$, опускаем перпендикуляр на прямую $m$. Точку их пересечения (основание перпендикуляра) обозначим $H$.
2. Выполняем поворот точки $H$ вокруг точки $O$ на угол $60°$ против часовой стрелки. Для этого строим угол $\angle HOH'$, равный $60°$, и на луче $OH'$ откладываем отрезок $OH'$, равный по длине отрезку $OH$. Получаем точку $H'$.
3. Поворот сохраняет углы. Так как исходная прямая $m$ была перпендикулярна отрезку $OH$ (по построению), то повернутая прямая $m'$ будет перпендикулярна повернутому отрезку $OH'$.
4. Проводим через точку $H'$ прямую $m'$, перпендикулярную отрезку $OH'$. Эта прямая и является искомой.

Ответ: Прямая $m'$ строится как перпендикуляр к отрезку $OH'$ в точке $H'$, где $H'$ — это образ точки $H$ (основания перпендикуляра из $O$ на $m$) при повороте вокруг $O$ на $60°$ против часовой стрелки.

2) $O \in m$

Если центр поворота $O$ лежит на прямой $m$, то при повороте точка $O$ отображается сама в себя, то есть является неподвижной. Это значит, что повернутая прямая $m'$ также будет проходить через точку $O$. Угол между исходной прямой $m$ и повернутой прямой $m'$ будет равен углу поворота, то есть $60°$.
Алгоритм построения:
1. На прямой $m$ выбираем любую точку $A$, не совпадающую с точкой $O$.
2. Выполняем поворот точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $60°$ против часовой стрелки. В результате получаем точку $A'$.
3. Проводим прямую через точки $O$ и $A'$. Эта прямая и есть искомая прямая $m'$.

Ответ: Прямая $m'$ строится как прямая, проходящая через точку $O$ и точку $A'$, где $A'$ — это образ любой точки $A \in m$ ($A \neq O$) при повороте вокруг $O$ на $60°$ против часовой стрелки.

2.29. Дан треугольник $ABC$. Постройте треугольник $AB'C'$ так, чтобы при параллельном переносе точка $A$ перешла в точку $B$.

Для построения треугольника $\triangle AB'C'$ на основе данного треугольника $\triangle ABC$ и условия, что при параллельном переносе точка A переходит в точку B, необходимо определить вектор переноса и с его помощью найти положения новых вершин B' и C'.

Вектор параллельного переноса определяется перемещением точки A в точку B, то есть это вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Вершина B' искомого треугольника является образом точки B при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Это означает, что вектор смещения точки B равен вектору переноса: $\vec{BB'} = \vec{AB}$. Геометрически это означает, что точки A, B и B' лежат на одной прямой, причем точка B является серединой отрезка AB'. Для построения точки B' следует провести прямую через A и B и отложить на ней от точки B отрезок BB', равный по длине отрезку AB, в направлении от точки A.

Вершина C' является образом точки C при том же переносе на вектор $\vec{AB}$, то есть $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Это условие означает, что четырехугольник ABC'C — это параллелограмм. Для построения точки C' можно использовать циркуль и линейку: сначала провести дугу окружности с центром в точке C и радиусом, равным длине отрезка AB, а затем провести дугу с центром в B и радиусом, равным длине AC. Точка пересечения этих дуг и будет искомой точкой C'.

После нахождения точек B' и C' искомый треугольник $\triangle AB'C'$ строится соединением вершин A, B' и C' отрезками.

На рисунке показан пример такого построения. Исходный треугольник $\triangle ABC$ закрашен серым, а искомый треугольник $\triangle AB'C'$ — синим. Пунктирными линиями показаны вспомогательные построения.

Ответ: Искомый треугольник $\triangle AB'C'$ строится по трем вершинам: исходной вершине A; точке B', построенной так, что B является серединой отрезка AB'; и точке C', построенной так, что четырехугольник ABC'C является параллелограммом.

2.30. Преобразуйте прямую $AB$ параллельным переносом так, чтобы точка $A$ перешла в заданную точку $C$. Рассмотрите случай:

1) $C \notin AB$;

2) $C \in AB$.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, который называется вектором переноса. По условию задачи, точка $A$ должна перейти в точку $C$, следовательно, вектором переноса является вектор $\vec{AC}$.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в саму себя). Пусть исходная прямая — $l$ (прямая $AB$), а ее образ — прямая $l'$. Тогда должно выполняться условие $l' \parallel l$. Так как точка $A$ переходит в точку $C$, то точка $C$ должна принадлежать образу прямой, то есть $C \in l'$. Таким образом, задача сводится к построению прямой $l'$, проходящей через точку $C$ и параллельной прямой $AB$.

Рассмотрим два случая.

1) $C \notin AB$

В этом случае точка $C$ не принадлежит прямой $AB$. Образом прямой $AB$ будет прямая $l'$, которая проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$. Поскольку $C$ не лежит на прямой $AB$, прямая $l'$ не совпадает с прямой $AB$. Это будет новая, параллельная исходной, прямая. Чтобы найти образ любой другой точки $B$ на исходной прямой, нужно отложить от нее вектор $\vec{BB'} = \vec{AC}$. Точка $B'$ будет лежать на новой прямой $l'$.

Ответ: Образом прямой $AB$ является прямая, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $AB$.

2) $C \in AB$

В этом случае точка $C$ принадлежит прямой $AB$. Образом прямой $AB$ по-прежнему является прямая $l'$, которая проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$. Но так как точка $C$ уже лежит на прямой $AB$, то единственная прямая, проходящая через $C$ и параллельная $AB$, — это сама прямая $AB$. Следовательно, прямая $AB$ отображается на себя.

Каждая точка прямой $AB$ смещается вдоль этой же прямой на вектор $\vec{AC}$. Образ любой точки $X$ на прямой $AB$ есть точка $X'$, такая, что $\vec{XX'} = \vec{AC}$. Поскольку векторы $\vec{XX'}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и лежат на одной прямой, точка $X'$ также будет принадлежать прямой $AB$.

Ответ: Прямая $AB$ отображается на себя.

2.31. Параллельный перенос задан формулами: $x'=x+1$, $y'=y-1$. Найдите образы точек (0; 0), (2; 1) и (-1; 2) при данном параллельном переносе.

Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка $(x; y)$ плоскости переходит в точку $(x'; y')$. В данной задаче это преобразование задано формулами:

$x' = x + 1$

$y' = y - 1$

Чтобы найти образы заданных точек, нужно подставить их координаты в эти формулы.

Для точки (0; 0)
Берем исходные координаты $x = 0$ и $y = 0$. Подставляем их в формулы преобразования:
$x' = 0 + 1 = 1$
$y' = 0 - 1 = -1$
Следовательно, образом точки $(0; 0)$ является точка $(1; -1)$.
Ответ: $(1; -1)$

Для точки (2; 1)
Берем исходные координаты $x = 2$ и $y = 1$. Подставляем их в формулы преобразования:
$x' = 2 + 1 = 3$
$y' = 1 - 1 = 0$
Следовательно, образом точки $(2; 1)$ является точка $(3; 0)$.
Ответ: $(3; 0)$

Для точки (-1; 2)
Берем исходные координаты $x = -1$ и $y = 2$. Подставляем их в формулы преобразования:
$x' = -1 + 1 = 0$
$y' = 2 - 1 = 1$
Следовательно, образом точки $(-1; 2)$ является точка $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$

2.32. При параллельном переносе, заданном формулами $x'=x+a$, $y'=y+b$, точка: 1) (1; 2) переходит в точку (3; 4); 2) (2; -1) переходит в точку (-1; 2); 3) (-1; -3) переходит в точку (0;-2). Найдите значения параметров $a$ и $b$.

1) При параллельном переносе, заданном формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, точка $(x; y)$ переходит в точку $(x'; y')$. В данном случае начальная точка — это $(1; 2)$, а конечная точка, в которую она переходит, — это $(3; 4)$. Чтобы найти параметры $a$ и $b$, необходимо выразить их из данных формул: $a = x' - x$ и $b = y' - y$. Подставим координаты точек:
$a = 3 - 1 = 2$
$b = 4 - 2 = 2$
Ответ: $a=2, b=2$.

2) В этом случае начальная точка — $(2; -1)$, а конечная — $(-1; 2)$. Используем те же формулы для нахождения параметров $a$ и $b$: $a = x' - x$ и $b = y' - y$. Подставим координаты:
$a = -1 - 2 = -3$
$b = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$
Ответ: $a=-3, b=3$.

3) Здесь начальная точка — $(-1; -3)$, а конечная — $(0; -2)$. Снова применяем формулы $a = x' - x$ и $b = y' - y$ для нахождения параметров переноса:
$a = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$
$b = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1$
Ответ: $a=1, b=1$.

2.33. При параллельном переносе точка $(1; 1)$ переходит в точку $(−1; 3)$. В какую точку перейдет начало координат?

Параллельный перенос на плоскости задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(x; y)$ — координаты исходной точки, $(x'; y')$ — координаты точки после переноса, а $(a; b)$ — координаты вектора переноса.

По условию, точка $(1; 1)$ переходит в точку $(-1; 3)$. Подставим эти значения в формулы, чтобы найти вектор переноса $(a; b)$:

$-1 = 1 + a$

$3 = 1 + b$

Из первого уравнения находим $a$:

$a = -1 - 1 = -2$

Из второго уравнения находим $b$:

$b = 3 - 1 = 2$

Таким образом, вектор параллельного переноса равен $(-2; 2)$.

Теперь нужно определить, в какую точку перейдет начало координат. Координаты начала координат — $(0; 0)$. Обозначим новые координаты как $(x'; y')$. Применим найденный вектор переноса:

$x' = 0 + a = 0 + (-2) = -2$

$y' = 0 + b = 0 + 2 = 2$

Следовательно, начало координат перейдет в точку с координатами $(-2; 2)$.

Ответ: $(-2; 2)$.

2.34. Существует ли параллельный перенос, при котором

1) точка: $(1; 2)$ переходит в точку $(3; 4)$, а точка $(0; 1)$ – в точку $(-1; 0)$;

2) $(2; -1)$ переходит в точку $(1; 0)$, а точка $(3; 1)$ – в точку $(2; 2)$?

Параллельный перенос на плоскости определяется вектором $\vec{v} = (a, b)$. Если точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$ при параллельном переносе, то ее координаты связаны формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$. Отсюда можно найти компоненты вектора переноса: $\vec{v} = (x' - x, y' - y)$. Для того чтобы существовал единый параллельный перенос для нескольких пар точек, векторы переноса, вычисленные для каждой пары, должны быть одинаковыми.

1) Проверим, существует ли параллельный перенос, при котором точка $(1; 2)$ переходит в точку $(3; 4)$, а точка $(0; 1)$ — в точку $(-1; 0)$.

Найдем вектор переноса $\vec{v_1}$ для первой пары точек:

$\vec{v_1} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)$.

Найдем вектор переноса $\vec{v_2}$ для второй пары точек:

$\vec{v_2} = (-1 - 0; 0 - 1) = (-1; -1)$.

Поскольку векторы переноса различны ($\vec{v_1} \neq \vec{v_2}$), то не существует такого параллельного переноса, который бы удовлетворял обоим условиям.

Ответ: не существует.

2) Проверим, существует ли параллельный перенос, при котором точка $(2; -1)$ переходит в точку $(1; 0)$, а точка $(3; 1)$ — в точку $(2; 2)$.

Найдем вектор переноса $\vec{v_1}$ для первой пары точек:

$\vec{v_1} = (1 - 2; 0 - (-1)) = (-1; 1)$.

Найдем вектор переноса $\vec{v_2}$ для второй пары точек:

$\vec{v_2} = (2 - 3; 2 - 1) = (-1; 1)$.

Поскольку векторы переноса равны ($\vec{v_1} = \vec{v_2}$), то такой параллельный перенос существует. Он задается вектором $\vec{v} = (-1; 1)$.

Ответ: существует.

2.35. Данную окружность повернули около точки А, лежащей на ней, на $120^\circ$ в двух направлениях. Каково взаимное расположение данной окружности и ее образов?

Решение:

Пусть дана окружность $C$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности, следовательно, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OA = R$.

Окружность поворачивают вокруг точки $A$ на угол $120^\circ$ в двух направлениях. Поворот является движением, поэтому образами исходной окружности будут окружности того же радиуса $R$.

1. Пусть $C_1$ — образ окружности $C$ при повороте на $+120^\circ$ вокруг точки $A$. Центр этой окружности, точка $O_1$, является образом точки $O$. При повороте расстояния от центра вращения сохраняются, поэтому $AO_1 = AO = R$. Угол поворота составляет $\angle OAO_1 = 120^\circ$.

2. Пусть $C_2$ — образ окружности $C$ при повороте на $-120^\circ$ вокруг точки $A$. Центр этой окружности, точка $O_2$, является образом точки $O$. Аналогично, $AO_2 = AO = R$ и $\angle OAO_2 = 120^\circ$.

Таким образом, мы имеем три окружности: исходную $C(O, R)$ и две ее образа $C_1(O_1, R)$ и $C_2(O_2, R)$. Все они имеют одинаковый радиус $R$.

Так как точка $A$ является центром вращения и лежит на исходной окружности, она остается неподвижной и принадлежит также и ее образам $C_1$ и $C_2$. Следовательно, все три окружности проходят через точку $A$.

Рассмотрим взаимное расположение центров $O, O_1, O_2$. Точки $O, O_1, O_2$ лежат на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R$. Углы между отрезками, соединяющими их с центром $A$, равны $120^\circ$: $\angle OAO_1 = 120^\circ$, $\angle OAO_2 = 120^\circ$. Соответственно, $\angle O_1AO_2$ также равен $120^\circ$ (либо $360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ$).

Найдем расстояния между центрами, используя теорему косинусов для треугольника $\triangle OAO_1$: $OO_1^2 = AO^2 + AO_1^2 - 2 \cdot AO \cdot AO_1 \cdot \cos(\angle OAO_1)$ $OO_1^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$ Отсюда $OO_1 = R\sqrt{3}$.

Аналогичные вычисления для пар $(O, O_2)$ и $(O_1, O_2)$ дают тот же результат: $OO_2 = R\sqrt{3}$ и $O_1O_2 = R\sqrt{3}$. Следовательно, центры трех окружностей $O, O_1, O_2$ образуют равносторонний треугольник со стороной $R\sqrt{3}$.

Теперь определим точки пересечения окружностей.

Рассмотрим любую пару окружностей, например $C$ и $C_1$. Расстояние между их центрами $OO_1 = R\sqrt{3}$. Поскольку $R+R=2R$, а $0 < R\sqrt{3} < 2R$, эти окружности пересекаются в двух точках. Мы уже знаем, что одна из этих точек — $A$.

Аналогично, каждая пара окружностей ($C$ и $C_2$, $C_1$ и $C_2$) пересекается в двух точках, одна из которых всегда $A$.

Возникает вопрос: есть ли у всех трех окружностей вторая общая точка пересечения, кроме точки $A$?

Рассмотрим вторую точку пересечения окружностей $C$ и $C_1$, назовем ее $P_1$. Четырехугольник $OAO_1P_1$ является ромбом, так как все его стороны равны $R$ ($OA=O_1A=OP_1=O_1P_1=R$). Аналогично, вторая точка пересечения $C$ и $C_2$, назовем ее $P_2$, образует ромб $OAO_2P_2$. Вторая точка пересечения $C_1$ и $C_2$, назовем ее $P_3$, образует ромб $O_1AO_2P_3$.

Так как точки $O, O_1, O_2$ различны, то и вторые вершины этих ромбов ($P_1, P_2, P_3$) будут различными. Таким образом, у трех окружностей нет второй общей точки пересечения. Единственная общая точка для всех трех окружностей — это точка $A$.

Визуализация взаимного расположения окружностей представлена на рисунке ниже. Синяя окружность — исходная, красная и зеленая — ее образы.

Ответ: Данная окружность и два ее образа представляют собой три равные окружности. Все три окружности имеют одну и только одну общую точку — точку вращения $A$. Любые две из этих трех окружностей пересекаются в двух точках: в общей точке $A$ и еще в одной точке, которая не принадлежит третьей окружности. Центры этих трех окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.