Страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Определите центр поворота так, чтобы два равных между собой квадрата можно было бы совместить друг с другом с помощью поворота.

Для определения центра поворота, который совмещает два равных квадрата, используется свойство поворота: центр поворота является точкой, равноудаленной от любой точки фигуры и ее образа после поворота. Это означает, что центр поворота должен лежать на срединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему любую исходную точку с ее образом.

Чтобы однозначно определить положение центра поворота, необходимо использовать как минимум две пары таких соответственных точек. Рассмотрим общий алгоритм и частные случаи.

Общий метод построения

Пусть дан квадрат $S_1$ с вершинами $A, B, C, D$ и равный ему квадрат $S_2$ с вершинами $A', B', C', D'$. При повороте вершины одного квадрата переходят в вершины другого. Выберем одно из возможных соответствий вершин, например, $A \to A'$ и $C \to C'$.

Алгоритм нахождения центра поворота $O$ следующий:

1. Соедините отрезком соответственные вершины $A$ и $A'$. Постройте к этому отрезку срединный перпендикуляр $m_1$.
2. Соедините отрезком другую пару соответственных вершин, например $C$ и $C'$. Постройте к этому отрезку срединный перпендикуляр $m_2$.
3. Точка пересечения перпендикуляров $m_1$ и $m_2$ и есть искомый центр поворота $O$.

Выбор двух пар вершин, которые не лежат на одной прямой с центром симметрии квадрата (например, смежных $A$ и $B$ или диагональных $A$ и $C$), гарантирует, что их срединные перпендикуляры не совпадут (за исключением особых случаев, рассмотренных ниже).

На рисунке ниже показано, как квадрат $ABCD$ совмещается с квадратом $A'B'C'D'$ путем поворота вокруг центра $O$. Центр $O$ найден как пересечение срединных перпендикуляров $m_{AA'}$ (к отрезку $AA'$) и $m_{CC'}$ (к отрезку $CC'$).

Особые случаи

1. Срединные перпендикуляры параллельны.
Это происходит, если один квадрат можно совместить с другим путем параллельного переноса (то есть их стороны соответственно параллельны). В этом случае отрезки, соединяющие соответственные вершины ($AA'$, $BB'$, и т.д.), параллельны и равны. Их срединные перпендикуляры также будут параллельны и не пересекутся на конечном расстоянии. Это означает, что конечного центра поворота не существует. Такое преобразование является чистым параллельным переносом.

2. Поворот на 180°.
Если один квадрат получен из другого поворотом на $180^\circ$ (центральной симметрией), то центр поворота $O$ является серединой отрезков, соединяющих все пары соответствующих вершин ($O$ - середина $AA'$, $BB'$ и т.д.). Его также можно найти как середину отрезка, соединяющего центры симметрии обоих квадратов. В этом случае стороны квадратов будут антипараллельны (например, вектор $\vec{AB}$ будет параллелен вектору $\vec{B'A'}$).

3. Срединные перпендикуляры совпадают.
Это редкий случай, который может возникнуть, если центр поворота $O$ лежит на прямой, проходящей через выбранные вершины (например, $A$ и $B$). Чтобы найти центр, необходимо взять третью вершину $C$, не лежащую на прямой $AB$, и пересечь срединный перпендикуляр к $AA'$ со срединным перпендикуляром к $CC'$.

Ответ: Центр поворота, совмещающего два равных квадрата, находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к двум отрезкам, которые соединяют две пары соответствующих вершин (например, $A$ с $A'$ и $C$ с $C'$). Если эти срединные перпендикуляры оказываются параллельны, то совмещение квадратов возможно только с помощью параллельного переноса, и в этом случае конечного центра поворота не существует.

2.48. Какова связь между преобразованием поворота и центральной симметрией?

Для того чтобы установить связь между преобразованием поворота и центральной симметрией, необходимо рассмотреть определения обоих этих геометрических преобразований.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (называемой центром симметрии) — это такое преобразование, при котором любая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это равносильно тому, что точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, и расстояния от центра симметрии до исходной и конечной точек равны ($OM = OM'$). Векторно это условие можно записать как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Поворот вокруг точки $O$ (называемой центром поворота) на угол $\alpha$ — это такое преобразование, при котором любая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, для которой выполняются два условия: расстояние до центра поворота сохраняется ($OM = OM'$) и угол между векторами $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ равен углу поворота $\alpha$ ($\angle MOM' = \alpha$).

Теперь рассмотрим частный случай поворота, когда угол поворота $\alpha = 180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан). Пусть точка $M$ переходит в точку $M'$ в результате поворота на $180^{\circ}$ вокруг центра $O$. В этом случае:

1. Расстояние $OM$ равно расстоянию $OM'$, как и при любом повороте.

2. Угол $\angle MOM'$ равен $180^{\circ}$.

Условие, что угол между лучами $OM$ и $OM'$ составляет $180^{\circ}$, означает, что эти лучи являются противоположно направленными, то есть лежат на одной прямой. Таким образом, точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, причем $O$ находится между $M$ и $M'$.

Совокупность этих двух условий (точки $M, O, M'$ лежат на одной прямой и $OM=OM'$) является точным определением центральной симметрии относительно точки $O$.

Следовательно, центральная симметрия является частным случаем преобразования поворота.

Ответ: Центральная симметрия с центром в точке $O$ является преобразованием поворота вокруг этой же точки $O$ на угол $180^{\circ}$.

2.49. Равные между собой окружности касаются в точке $K$ внешним образом. Секущая, параллельная прямой, соединяющей их центры, пересекает первую окружность в точках $A$ и $B$, а вторую — в точках $C$ и $D$. Докажите, что угол $AKS$ не зависит от выбора секущей.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка касания окружностей K будет началом координат (0, 0). Поскольку окружности равны и касаются внешним образом, их общая касательная в точке K будет осью ординат (Oy), а линия, соединяющая их центры O₁ и O₂, — осью абсцисс (Ox).

Пусть радиус каждой окружности равен R. Тогда центры окружностей будут иметь координаты O₁(-R, 0) и O₂(R, 0).

Уравнение первой окружности (с центром O₁): $(x+R)^2 + y^2 = R^2$.

Уравнение второй окружности (с центром O₂): $(x-R)^2 + y^2 = R^2$.

Секущая по условию параллельна прямой, соединяющей центры (оси Ox). Следовательно, уравнение секущей можно записать как $y = h$, где $h$ — постоянная величина, определяющая положение секущей ($0 < |h| < R$).

Найдем координаты точек пересечения секущей с окружностями.

1. Первая окружность (точки A и B):

Подставим $y=h$ в уравнение первой окружности:

$(x+R)^2 + h^2 = R^2$

$(x+R)^2 = R^2 - h^2$

$x+R = \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

$x = -R \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

Таким образом, точки пересечения с первой окружностью имеют координаты $(-R - \sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $(-R + \sqrt{R^2 - h^2}, h)$.

2. Вторая окружность (точки C и D):

Подставим $y=h$ в уравнение второй окружности:

$(x-R)^2 + h^2 = R^2$

$(x-R)^2 = R^2 - h^2$

$x-R = \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

$x = R \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

Таким образом, точки пересечения со второй окружностью имеют координаты $(R - \sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $(R + \sqrt{R^2 - h^2}, h)$.

В условии задачи требуется доказать, что угол AKC не зависит от выбора секущей. Это подразумевает, что существует определенное правило выбора точек A и C из найденных пар. В силу симметрии задачи (равные окружности, секущая параллельна линии центров), естественно выбрать точки A и C как соответствующие друг другу при параллельном переносе, который переводит первую окружность во вторую. Такой перенос задается вектором $\vec{O_1O_2}$. Следовательно, мы должны выбрать точки A и C так, чтобы выполнялось условие $\vec{AC} = \vec{O_1O_2}$.

Вектор $\vec{O_1O_2}$ имеет координаты $(R - (-R), 0 - 0) = (2R, 0)$.

Проверим, какие пары точек (A, C) удовлетворяют условию $\vec{AC}=(2R, 0)$, то есть $x_C - x_A = 2R$ и $y_C - y_A = 0$. Условие по оси y выполняется, так как все точки лежат на прямой $y=h$.

Возможны два варианта:

• $A(-R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$ и $C(R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$.
  $x_C - x_A = (R + \sqrt{R^2-h^2}) - (-R + \sqrt{R^2-h^2}) = 2R$. Условие выполнено.
• $A(-R - \sqrt{R^2-h^2}, h)$ и $C(R - \sqrt{R^2-h^2}, h)$.
  $x_C - x_A = (R - \sqrt{R^2-h^2}) - (-R - \sqrt{R^2-h^2}) = 2R$. Условие также выполнено.

Выберем любую из этих пар, например, первую: $A(-R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$ и $C(R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$.

Теперь найдем угол $\angle AKC$. Точка K имеет координаты (0, 0). Найдем векторы $\vec{KA}$ и $\vec{KC}$:

$\vec{KA} = (-R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$

$\vec{KC} = (R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$

Для нахождения угла между векторами воспользуемся их скалярным произведением:

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = x_A \cdot x_C + y_A \cdot y_C$

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = (-R + \sqrt{R^2-h^2})(R + \sqrt{R^2-h^2}) + h \cdot h$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = ((\sqrt{R^2-h^2})^2 - R^2) + h^2$

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = (R^2-h^2) - R^2 + h^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{KA}$ и $\vec{KC}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними $\angle AKC$ равен $90^\circ$.

Этот результат не зависит от параметра $h$, который определяет положение секущей. Таким образом, угол AKC не зависит от выбора секущей.

Ответ: Угол AKC равен $90^\circ$ и не зависит от выбора секущей.

2.50. Проведены две прямые, проходящие через центр равностороннего треугольника и образующие между собой угол $60^\circ$. Покажите, что отрезки этих прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны между собой.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством симметрии равностороннего треугольника, а именно поворотом вокруг его центра.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ с центром в точке $O$. Центр равностороннего треугольника является его центром симметрии. В частности, поворот вокруг точки $O$ на угол $120°$ (или $-120°$, то есть $240°$) совмещает треугольник с самим собой. Обозначим такой поворот как $R_O^{120°}$. При этом повороте вершины переходят друг в друга (например, $A \to B \to C \to A$), и стороны также переходят друг в друга ($AB \to BC \to CA \to AB$).

Пусть через центр $O$ проведены две прямые $l_1$ и $l_2$, образующие между собой угол $60°$. Пусть $PQ$ — отрезок прямой $l_1$, ограниченный сторонами треугольника, а $RS$ — отрезок прямой $l_2$, также ограниченный сторонами треугольника. Нам нужно доказать, что $PQ = RS$.

Рассмотрим одну из прямых, например $l_2$, и повернем ее вокруг центра $O$ на угол, который является углом симметрии треугольника, то есть на $120°$ или на $-120°$. Покажем, что всегда можно выбрать такое направление поворота ($\theta = \pm 120°$), чтобы прямая $l_2$ перешла в прямую $l_1$.

Пусть прямая $l_1$ задается некоторым углом наклона $\alpha$, а прямая $l_2$ — углом $\beta$. Углы можно рассматривать по модулю $180°$. По условию, угол между прямыми равен $60°$, что означает $\beta = \alpha + 60°$ или $\beta = \alpha - 60°$.

• Если $\beta = \alpha - 60°$, то при повороте на $120°$ прямая $l_2$ перейдет в прямую с углом наклона $\beta' = \beta + 120° = (\alpha - 60°) + 120° = \alpha + 60°$. Это не прямая $l_1$. Однако при повороте на $-120°$ прямая $l_2$ перейдет в прямую с углом наклона $\beta'' = \beta - 120° = (\alpha - 60°) - 120° = \alpha - 180°$, что соответствует углу $\alpha$. Таким образом, $R_O^{-120°}(l_2) = l_1$.
• Если $\beta = \alpha + 60°$, то при повороте на $120°$ прямая $l_2$ перейдет в прямую с углом наклона $\beta' = \beta + 120° = (\alpha + 60°) + 120° = \alpha + 180°$, что соответствует углу $\alpha$. Таким образом, $R_O^{120°}(l_2) = l_1$.

Итак, всегда существует такой поворот $R$ (на $120°$ или $-120°$), который отображает прямую $l_2$ на прямую $l_1$. Выберем этот поворот $R$.

Теперь применим этот поворот $R$ к отрезку $RS$.

1. Поворот является изометрией, то есть сохраняет расстояния. Следовательно, длина отрезка $RS$ равна длине его образа $R(RS)$. Обозначим образ отрезка $RS$ как $R'S'$. Таким образом, $RS = R'S'$.
2. Так как точки $R$ и $S$ лежат на прямой $l_2$, их образы $R'$ и $S'$ будут лежать на образе прямой $l_2$, то есть на прямой $R(l_2)$. Как мы установили, $R(l_2) = l_1$. Значит, точки $R'$ и $S'$ лежат на прямой $l_1$.
3. Точки $R$ и $S$ по условию лежат на сторонах треугольника $ABC$. Их образы $R'$ и $S'$ при повороте $R$ будут лежать на образе контура треугольника $R(\triangle ABC)$. Так как поворот $R$ является поворотом симметрии для треугольника $ABC$, он отображает треугольник на себя: $R(\triangle ABC) = \triangle ABC$. Это означает, что точки $R'$ и $S'$ также лежат на сторонах треугольника $ABC$.

Из пунктов 2 и 3 следует, что $R'S'$ — это отрезок, который лежит на прямой $l_1$ и концы которого принадлежат сторонам треугольника $ABC$. По определению, таким отрезком является $PQ$. Следовательно, отрезок $R'S'$ и отрезок $PQ$ совпадают.

Таким образом, мы получили цепочку равенств: $RS = R'S'$ (из свойства сохранения длины при повороте) и $R'S' = PQ$ (так как они являются одним и тем же отрезком). Отсюда следует, что $PQ = RS$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки данных прямых, ограниченные сторонами равностороннего треугольника, равны между собой.