Номер 2.49, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.49. Равные между собой окружности касаются в точке $K$ внешним образом. Секущая, параллельная прямой, соединяющей их центры, пересекает первую окружность в точках $A$ и $B$, а вторую — в точках $C$ и $D$. Докажите, что угол $AKS$ не зависит от выбора секущей.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка касания окружностей K будет началом координат (0, 0). Поскольку окружности равны и касаются внешним образом, их общая касательная в точке K будет осью ординат (Oy), а линия, соединяющая их центры O₁ и O₂, — осью абсцисс (Ox).

Пусть радиус каждой окружности равен R. Тогда центры окружностей будут иметь координаты O₁(-R, 0) и O₂(R, 0).

Уравнение первой окружности (с центром O₁): $(x+R)^2 + y^2 = R^2$.

Уравнение второй окружности (с центром O₂): $(x-R)^2 + y^2 = R^2$.

Секущая по условию параллельна прямой, соединяющей центры (оси Ox). Следовательно, уравнение секущей можно записать как $y = h$, где $h$ — постоянная величина, определяющая положение секущей ($0 < |h| < R$).

Найдем координаты точек пересечения секущей с окружностями.

1. Первая окружность (точки A и B):

Подставим $y=h$ в уравнение первой окружности:

$(x+R)^2 + h^2 = R^2$

$(x+R)^2 = R^2 - h^2$

$x+R = \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

$x = -R \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

Таким образом, точки пересечения с первой окружностью имеют координаты $(-R - \sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $(-R + \sqrt{R^2 - h^2}, h)$.

2. Вторая окружность (точки C и D):

Подставим $y=h$ в уравнение второй окружности:

$(x-R)^2 + h^2 = R^2$

$(x-R)^2 = R^2 - h^2$

$x-R = \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

$x = R \pm\sqrt{R^2 - h^2}$

Таким образом, точки пересечения со второй окружностью имеют координаты $(R - \sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $(R + \sqrt{R^2 - h^2}, h)$.

В условии задачи требуется доказать, что угол AKC не зависит от выбора секущей. Это подразумевает, что существует определенное правило выбора точек A и C из найденных пар. В силу симметрии задачи (равные окружности, секущая параллельна линии центров), естественно выбрать точки A и C как соответствующие друг другу при параллельном переносе, который переводит первую окружность во вторую. Такой перенос задается вектором $\vec{O_1O_2}$. Следовательно, мы должны выбрать точки A и C так, чтобы выполнялось условие $\vec{AC} = \vec{O_1O_2}$.

Вектор $\vec{O_1O_2}$ имеет координаты $(R - (-R), 0 - 0) = (2R, 0)$.

Проверим, какие пары точек (A, C) удовлетворяют условию $\vec{AC}=(2R, 0)$, то есть $x_C - x_A = 2R$ и $y_C - y_A = 0$. Условие по оси y выполняется, так как все точки лежат на прямой $y=h$.

Возможны два варианта:

• $A(-R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$ и $C(R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$.
  $x_C - x_A = (R + \sqrt{R^2-h^2}) - (-R + \sqrt{R^2-h^2}) = 2R$. Условие выполнено.
• $A(-R - \sqrt{R^2-h^2}, h)$ и $C(R - \sqrt{R^2-h^2}, h)$.
  $x_C - x_A = (R - \sqrt{R^2-h^2}) - (-R - \sqrt{R^2-h^2}) = 2R$. Условие также выполнено.

Выберем любую из этих пар, например, первую: $A(-R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$ и $C(R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$.

Теперь найдем угол $\angle AKC$. Точка K имеет координаты (0, 0). Найдем векторы $\vec{KA}$ и $\vec{KC}$:

$\vec{KA} = (-R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$

$\vec{KC} = (R + \sqrt{R^2-h^2}, h)$

Для нахождения угла между векторами воспользуемся их скалярным произведением:

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = x_A \cdot x_C + y_A \cdot y_C$

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = (-R + \sqrt{R^2-h^2})(R + \sqrt{R^2-h^2}) + h \cdot h$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = ((\sqrt{R^2-h^2})^2 - R^2) + h^2$

$\vec{KA} \cdot \vec{KC} = (R^2-h^2) - R^2 + h^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{KA}$ и $\vec{KC}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними $\angle AKC$ равен $90^\circ$.

Этот результат не зависит от параметра $h$, который определяет положение секущей. Таким образом, угол AKC не зависит от выбора секущей.

Ответ: Угол AKC равен $90^\circ$ и не зависит от выбора секущей.