Номер 2.42, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42. При каком условии можно совместить параллельным переносом:

1) два отрезка;

2) две прямые;

3) два луча;

4) две окружности?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это означает, что фигура и ее образ при параллельном переносе конгруэнтны и одинаково ориентированы в пространстве. Рассмотрим условия для каждой из заданных фигур.

1) два отрезка

Чтобы два отрезка, скажем $AB$ и $CD$, можно было совместить параллельным переносом, необходимо и достаточно, чтобы они были равны по длине и параллельны.

Рассмотрим два отрезка $AB$ и $CD$. Чтобы их можно было совместить, они должны быть конгруэнтны, то есть иметь одинаковую длину: $|AB|=|CD|$. Кроме того, так как параллельный перенос переводит любую прямую в параллельную ей прямую, прямые, содержащие эти отрезки, также должны быть параллельны. Таким образом, отрезки $AB$ и $CD$ должны быть параллельны.

Если отрезки $AB$ и $CD$ равны по длине и параллельны, то всегда существует параллельный перенос, который их совмещает. Например, перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AC}$ совместит точку $A$ с точкой $C$. Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены (как на рисунке), то этот перенос также совместит точку $B$ с точкой $D$. Если же векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ противонаправлены, то перенос на вектор $\vec{u} = \vec{AD}$ совместит точку $A$ с $D$ и точку $B$ с $C$.

Ответ: Два отрезка можно совместить параллельным переносом, если они равны по длине и параллельны.

2) две прямые

Параллельный перенос переводит любую прямую в прямую, ей параллельную. Пусть есть две прямые, $l_1$ и $l_2$. Если мы применим к прямой $l_1$ параллельный перенос, ее образом будет некоторая прямая $l'_1$, параллельная $l_1$. Чтобы $l'_1$ совпала с $l_2$, необходимо, чтобы $l_2$ была параллельна $l_1$.

Это условие также является достаточным. Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, выберем на $l_1$ произвольную точку $A$, а на $l_2$ — произвольную точку $B$. Параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$ переведет точку $A$ в точку $B$. При этом вся прямая $l_1$ перейдет в прямую $l'_1$, которая проходит через точку $B$ и параллельна $l_1$. Так как через точку $B$ проходит только одна прямая, параллельная $l_1$ (это прямая $l_2$), то $l'_1$ и $l_2$ совпадают.

Ответ: Две прямые можно совместить параллельным переносом, если они параллельны.

3) два луча

Луч характеризуется начальной точкой и направлением. При параллельном переносе луч переходит в луч, который ему параллелен и имеет то же направление (сонаправлен с исходным).

Следовательно, для того чтобы два луча можно было совместить параллельным переносом, они должны быть сонаправлены. Если два луча сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону), то, выполнив параллельный перенос на вектор, соединяющий их начальные точки, мы совместим один луч с другим. Если же лучи параллельны, но направлены в противоположные стороны, совместить их параллельным переносом невозможно, так как он не меняет направление.

Ответ: Два луча можно совместить параллельным переносом, если они сонаправлены.

4) две окружности

Окружность задается центром и радиусом. Параллельный перенос является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния. Образом окружности с центром $O_1$ и радиусом $R_1$ при параллельном переносе будет окружность с некоторым новым центром $O'_1$ и тем же радиусом $R_1$.

Чтобы эта новая окружность совпала со второй окружностью (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$), необходимо, чтобы их радиусы были равны: $R_1 = R_2$.

Если радиусы двух окружностей равны, то их всегда можно совместить. Для этого достаточно выполнить параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{O_1O_2}$, который совмещает центр первой окружности с центром второй. Поскольку радиусы равны, сами окружности также совпадут.

Ответ: Две окружности можно совместить параллельным переносом, если их радиусы равны.