Номер 2.36, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. При повороте квадрата $ABCD$ около вершины $A$, при котором точка $B$ перешла в точку $D$, получился квадрат $ADC_1D_1$. Сторона $AB$ равна $a$. Найдите $CD_1$ и $CC_1$.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $AB = a$. Все стороны квадрата равны $a$, а все углы прямые. По условию, квадрат поворачивают около вершины $A$ так, что точка $B$ переходит в точку $D$. Поскольку в квадрате $ABCD$ отрезки $AB$ и $AD$ равны ($AB = AD = a$) и угол между ними $\angle BAD = 90^\circ$, данный поворот является поворотом на угол $90^\circ$ вокруг точки $A$.

При этом повороте каждая точка фигуры поворачивается на $90^\circ$ вокруг $A$. Вершина $A$ остается на месте. Вершина $B$ переходит в $D$. Вершина $C$ переходит в некоторую точку $C_1$. Вершина $D$ переходит в некоторую точку $D_1$.

В результате поворота квадрата $ABCD$ получается конгруэнтный ему квадрат $ADC_1D_1$, где $A$, $D$, $C_1$, $D_1$ — его вершины. Расстояние от центра поворота $A$ до любой точки сохраняется. Следовательно:

• $AC = AC_1$. Диагональ квадрата $ABCD$ равна $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Значит, $AC_1 = a\sqrt{2}$.
• $AD = AD_1$. Сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Значит, $AD_1 = a$.

• $\angle CAC_1 = 90^\circ$.
• $\angle DAD_1 = 90^\circ$.

Найдём $CC_1$

Рассмотрим треугольник $\triangle CAC_1$. Мы знаем, что $AC = a\sqrt{2}$ и $AC_1 = a\sqrt{2}$. Угол между этими сторонами $\angle CAC_1$ равен углу поворота, то есть $90^\circ$. Следовательно, $\triangle CAC_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Длину гипотенузы $CC_1$ можно найти по теореме Пифагора: $CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 + 2a^2 = 4a^2$. $CC_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Ответ: $CC_1 = 2a$.

Найдём $CD_1$

Рассмотрим треугольник $\triangle CAD_1$. В нём известны две стороны: $AC = a\sqrt{2}$ и $AD_1 = a$. Найдём угол между ними, $\angle CAD_1$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle CAD$ и $\angle DAD_1$. $\angle CAD$ — это угол между диагональю и стороной квадрата $ABCD$, поэтому $\angle CAD = 45^\circ$. $\angle DAD_1$ — это угол поворота, поэтому $\angle DAD_1 = 90^\circ$. Таким образом, $\angle CAD_1 = \angle CAD + \angle DAD_1 = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $\triangle CAD_1$: $CD_1^2 = AC^2 + AD_1^2 - 2 \cdot AC \cdot AD_1 \cdot \cos(\angle CAD_1)$ $CD_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 - 2 \cdot (a\sqrt{2}) \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$ Так как $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $CD_1^2 = 2a^2 + a^2 - 2a^2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $CD_1^2 = 3a^2 + \frac{2a^2 \cdot 2}{2} = 3a^2 + 2a^2 = 5a^2$ $CD_1 = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Ответ: $CD_1 = a\sqrt{5}$.