Номер 2.43, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Даны две пары параллельных прямых: $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$. Всегда ли найдется параллельный перенос, переводящий $a$ в $a_1$ и $b$ в $b_1$?

Нет, такой параллельный перенос найдется не всегда. Ответ зависит от того, параллельны ли между собой прямые $a$ и $b$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ не параллельны ($a \not\parallel b$).

Если прямые $a$ и $b$ не параллельны, они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку $P$. Поскольку по условию $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$, то прямые $a_1$ и $b_1$ также не параллельны друг другу и пересекаются в единственной точке, которую мы обозначим $P_1$.

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки смещаются на один и тот же вектор. Если искомый параллельный перенос существует, он должен переводить точку пересечения прямых $a$ и $b$ в точку пересечения их образов $a_1$ и $b_1$. Следовательно, точка $P$ должна перейти в точку $P_1$.

Это однозначно определяет вектор параллельного переноса: $\vec{v} = \vec{PP_1}$.

Проверим, что параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{PP_1}$ действительно переводит прямую $a$ в $a_1$ и прямую $b$ в $b_1$.

Возьмем любую точку $A$ на прямой $a$. Ее образ при данном переносе — точка $A' = A + \vec{v}$. Прямая $a$ проходит через точку $P$, значит, вектор $\vec{PA}$ коллинеарен направляющему вектору прямой $a$. Вектор $\vec{P_1A'} = A' - P_1 = (A + \vec{v}) - P_1 = A + \vec{PP_1} - P_1 = A + (P_1 - P) - P_1 = A - P = \vec{PA}$. Таким образом, вектор $\vec{P_1A'}$ равен вектору $\vec{PA}$. Это означает, что точка $A'$ лежит на прямой, проходящей через $P_1$ и параллельной прямой $a$. По определению, это и есть прямая $a_1$. Поскольку $A$ — произвольная точка на $a$, весь образ прямой $a$ есть прямая $a_1$.

Аналогичные рассуждения доказывают, что этот же перенос переводит прямую $b$ в прямую $b_1$.

Таким образом, если прямые $a$ и $b$ не параллельны, то такой параллельный перенос всегда существует.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Если $a \parallel b$, то из условий $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$ следует, что все четыре прямые параллельны друг другу: $a \parallel b \parallel a_1 \parallel b_1$.

Пусть искомый параллельный перенос задается вектором $\vec{v}$. Этот перенос должен переводить прямую $a$ в $a_1$ и прямую $b$ в $b_1$.

Введем систему координат, в которой ось абсцисс параллельна этим прямым. Тогда уравнения прямых будут иметь вид: $a: y = c_a$, $a_1: y = c_{a1}$, $b: y = c_b$, $b_1: y = c_{b1}$. Пусть вектор переноса имеет координаты $\vec{v} = (v_x, v_y)$.

При переносе на вектор $\vec{v}$ точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+v_x, y+v_y)$.

Чтобы прямая $a: y = c_a$ перешла в прямую $a_1: y = c_{a1}$, для любой точки $(x, c_a)$ на прямой $a$ ее образ $(x+v_x, c_a+v_y)$ должен лежать на прямой $a_1$. Это означает, что $c_a + v_y = c_{a1}$, откуда $v_y = c_{a1} - c_a$.

Аналогично, чтобы прямая $b: y = c_b$ перешла в прямую $b_1: y = c_{b1}$, для любой точки $(x, c_b)$ на прямой $b$ ее образ $(x+v_x, c_b+v_y)$ должен лежать на прямой $b_1$. Это означает, что $c_b + v_y = c_{b1}$, откуда $v_y = c_{b1} - c_b$.

Для существования одного и того же вектора переноса $\vec{v}$ необходимо, чтобы его компонента $v_y$ удовлетворяла обоим условиям одновременно. Следовательно, должно выполняться равенство:

$c_{a1} - c_a = c_{b1} - c_b$

Это равенство означает, что направленное расстояние между прямыми $a$ и $a_1$ должно быть равно направленному расстоянию между прямыми $b$ и $b_1$. Это условие выполняется не всегда.

Приведем контрпример. Пусть даны прямые:

$a: y = 0$

$a_1: y = 1$

$b: y = 2$

$b_1: y = 4$

Здесь $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$. Для перевода $a$ в $a_1$ требуется смещение по оси $y$ на $1 - 0 = 1$. Для перевода $b$ в $b_1$ требуется смещение по оси $y$ на $4 - 2 = 2$. Поскольку $1 \neq 2$, не существует такого параллельного переноса, который одновременно переводил бы $a$ в $a_1$ и $b$ в $b_1$.

Поскольку мы нашли случай, когда такой перенос невозможен, общий ответ на вопрос — нет.

Ответ: Нет, не всегда. Такой перенос существует тогда и только тогда, когда либо прямые $a$ и $b$ не параллельны, либо, в случае если они параллельны, направленное расстояние от $a$ до $a_1$ равно направленному расстоянию от $b$ до $b_1$.