Номер 2.38, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.38. Даны параллельные прямые $b$ и $c$ и точка $A$, не лежащая на них. Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ так, чтобы вершины $B$ и $C$ лежали на прямых $b$ и $c$ соответственно.

Задача о построении равнобедренного треугольника $ABC$ имеет три возможных случая в зависимости от того, какая пара сторон является равной: $AB=AC$, $BA=BC$ или $CA=CB$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Боковые стороны $AB$ и $AC$ ($AB=AC$)

В этом случае вершина $A$ является вершиной равнобедренного треугольника, а $BC$ — его основанием. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, является также и медианой. Обозначим середину основания $BC$ как $H$. Тогда высота $AH$ будет перпендикулярна основанию $BC$.

Поскольку точки $B$ и $C$ лежат на параллельных прямых $b$ и $c$, их середина $H$ должна лежать на средней линии $m$ полосы, образованной этими прямыми. Это свойство дает нам ключ к построению.

Построение:

1. Построить среднюю линию $m$ для данных параллельных прямых $b$ и $c$. Для этого можно провести любой перпендикуляр к прямым $b$ и $c$, найти точки его пересечения с ними, найти середину этого отрезка и провести через нее прямую, параллельную $b$ и $c$.
2. Выбрать на средней линии $m$ произвольную точку $H$.
3. Провести прямую $s$ через точки $A$ и $H$. Эта прямая будет содержать высоту и медиану искомого треугольника.
4. Провести через точку $H$ прямую $d$, перпендикулярную прямой $s$. Эта прямая будет содержать основание $BC$.
5. Найти точки пересечения прямой $d$ с прямыми $b$ и $c$. Точка пересечения $d \cap b$ будет вершиной $B$, а точка пересечения $d \cap c$ — вершиной $C$.
6. Соединить точки $A$, $B$ и $C$, чтобы получить искомый треугольник $ABC$.

Доказательство:

По построению, $B$ лежит на $b$, а $C$ — на $c$. Точка $H$ лежит на средней линии $m$, и прямая $d$, содержащая отрезок $BC$, проходит через $H$. Следовательно, $H$ является серединой отрезка $BC$. Таким образом, $AH$ — медиана треугольника $ABC$. По построению, прямая $AH$ (прямая $s$) перпендикулярна прямой $BC$ (прямой $d$). Значит, $AH$ также является и высотой. Поскольку в треугольнике $ABC$ медиана $AH$ совпадает с высотой, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$, то есть $AB = AC$.

Ответ: Построение описано выше. Поскольку точку $H$ на средней линии $m$ можно выбрать произвольно, существует бесконечное множество решений такого типа.

Случай 2: Боковые стороны $BA$ и $BC$ ($BA=BC$)

В этом случае вершина $B$ является вершиной равнобедренного треугольника. Это означает, что точка $B$ должна быть равноудалена от точек $A$ и $C$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Построение:

1. Выбрать на прямой $c$ произвольную точку $C$. (Следует избегать выбора $C$ так, чтобы прямая $AC$ была перпендикулярна прямым $b$ и $c$, так как в этом случае решение может не существовать).
2. Построить отрезок $AC$.
3. Построить серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AC$.
4. Найти точку пересечения прямой $p$ с прямой $b$. Эта точка и будет вершиной $B$.
5. Соединить точки $A$, $B$ и $C$, чтобы получить искомый треугольник $ABC$.

Доказательство:

По построению, вершина $C$ лежит на прямой $c$. Вершина $B$ лежит на прямой $b$. Так как точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, она равноудалена от точек $A$ и $C$, то есть $BA=BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с вершиной $B$.

Ответ: Построение описано выше. Так как точку $C$ на прямой $c$ можно выбрать произвольно (за исключением одного случая), существует бесконечное множество решений этого типа.

Случай 3: Боковые стороны $CA$ и $CB$ ($CA=CB$)

Этот случай симметричен предыдущему. Вершина $C$ является вершиной равнобедренного треугольника, а значит, она равноудалена от точек $A$ и $B$. Следовательно, точка $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Построение:

1. Выбрать на прямой $b$ произвольную точку $B$. (Аналогично случаю 2, стоит избегать выбора $B$ так, чтобы прямая $AB$ была перпендикулярна $b$ и $c$).
2. Построить отрезок $AB$.
3. Построить серединный перпендикуляр $q$ к отрезку $AB$.
4. Найти точку пересечения прямой $q$ с прямой $c$. Эта точка и будет вершиной $C$.
5. Соединить точки $A$, $B$ и $C$, чтобы получить искомый треугольник $ABC$.

Доказательство:

По построению, вершина $B$ лежит на прямой $b$. Вершина $C$ лежит на прямой $c$. Так как точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, она равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $CA=CB$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с вершиной $C$.

Ответ: Построение описано выше. Так как точку $B$ на прямой $b$ можно выбрать произвольно (за исключением одного случая), существует бесконечное множество решений и этого типа.