Номер 2.41, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.41. Даны равные, но непараллельные два отрезка. Определите центр поворота так, чтобы эти отрезки переводились друг в друга с помощью преобразования поворота.

Решение

Пусть даны два равных, но непараллельных отрезка $AB$ и $CD$. Требуется найти центр поворота $O$, который переводит один отрезок в другой.Поворот является движением, то есть сохраняет расстояния. Это означает, что если точка $P$ при повороте переходит в точку $P'$, то расстояние от центра поворота $O$ до точки $P$ равно расстоянию от $O$ до $P'$. Иначе говоря, $|OP| = |OP'|$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $P$ и $P'$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($PP'$).

При повороте, переводящем отрезок $AB$ в отрезок $CD$, возможны два варианта отображения концов отрезков:
1. Точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $B$ переходит в точку $D$.
2. Точка $A$ переходит в точку $D$, а точка $B$ переходит в точку $C$.

Рассмотрим первый случай: $A \to C$ и $B \to D$.
- Так как точка $A$ переходит в $C$, центр поворота $O$ должен быть равноудален от $A$ и $C$. Следовательно, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$.
- Так как точка $B$ переходит в $D$, центр поворота $O$ должен быть равноудален от $B$ и $D$. Следовательно, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Таким образом, центр поворота $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AC$ и $BD$. Чтобы найти центр поворота, нужно выполнить следующие построения:
1. Соединить точки $A$ и $C$ и построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
2. Соединить точки $B$ и $D$ и построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
3. Точка пересечения этих двух перпендикуляров и будет искомым центром поворота $O$.

Данный метод построения дает единственное решение, за исключением случая, когда серединные перпендикуляры параллельны. Это происходит, если отрезки $AC$ и $BD$ параллельны. Если $AC \parallel BD$, то поворот, отображающий $A \to C$ и $B \to D$, не существует (такое движение является скользящей симметрией).В этом случае необходимо рассмотреть второй вариант отображения: $A \to D$ и $B \to C$. Центр поворота $O'$ для такого отображения будет находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AD$ и $BC$.

Можно доказать, что случаи, когда $AC \parallel BD$ и одновременно $AD \parallel BC$, невозможны при условии, что отрезки $AB$ и $CD$ не параллельны. Следовательно, по крайней мере один из двух описанных методов построения всегда приведет к решению.

Ответ: Центр поворота, переводящего отрезок $AB$ в отрезок $CD$, определяется следующим образом:
1. Строятся серединные перпендикуляры к отрезкам $AC$ и $BD$ (соединяющим соответствующие концы).
2. Если эти перпендикуляры пересекаются, то их точка пересечения является центром поворота.
3. Если эти перпендикуляры параллельны, то центр поворота находится как точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AD$ и $BC$.