Номер 2.47, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Определите центр поворота так, чтобы два равных между собой квадрата можно было бы совместить друг с другом с помощью поворота.

Для определения центра поворота, который совмещает два равных квадрата, используется свойство поворота: центр поворота является точкой, равноудаленной от любой точки фигуры и ее образа после поворота. Это означает, что центр поворота должен лежать на срединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему любую исходную точку с ее образом.

Чтобы однозначно определить положение центра поворота, необходимо использовать как минимум две пары таких соответственных точек. Рассмотрим общий алгоритм и частные случаи.

Общий метод построения

Пусть дан квадрат $S_1$ с вершинами $A, B, C, D$ и равный ему квадрат $S_2$ с вершинами $A', B', C', D'$. При повороте вершины одного квадрата переходят в вершины другого. Выберем одно из возможных соответствий вершин, например, $A \to A'$ и $C \to C'$.

Алгоритм нахождения центра поворота $O$ следующий:

1. Соедините отрезком соответственные вершины $A$ и $A'$. Постройте к этому отрезку срединный перпендикуляр $m_1$.
2. Соедините отрезком другую пару соответственных вершин, например $C$ и $C'$. Постройте к этому отрезку срединный перпендикуляр $m_2$.
3. Точка пересечения перпендикуляров $m_1$ и $m_2$ и есть искомый центр поворота $O$.

Выбор двух пар вершин, которые не лежат на одной прямой с центром симметрии квадрата (например, смежных $A$ и $B$ или диагональных $A$ и $C$), гарантирует, что их срединные перпендикуляры не совпадут (за исключением особых случаев, рассмотренных ниже).

На рисунке ниже показано, как квадрат $ABCD$ совмещается с квадратом $A'B'C'D'$ путем поворота вокруг центра $O$. Центр $O$ найден как пересечение срединных перпендикуляров $m_{AA'}$ (к отрезку $AA'$) и $m_{CC'}$ (к отрезку $CC'$).

Особые случаи

1. Срединные перпендикуляры параллельны.
Это происходит, если один квадрат можно совместить с другим путем параллельного переноса (то есть их стороны соответственно параллельны). В этом случае отрезки, соединяющие соответственные вершины ($AA'$, $BB'$, и т.д.), параллельны и равны. Их срединные перпендикуляры также будут параллельны и не пересекутся на конечном расстоянии. Это означает, что конечного центра поворота не существует. Такое преобразование является чистым параллельным переносом.

2. Поворот на 180°.
Если один квадрат получен из другого поворотом на $180^\circ$ (центральной симметрией), то центр поворота $O$ является серединой отрезков, соединяющих все пары соответствующих вершин ($O$ - середина $AA'$, $BB'$ и т.д.). Его также можно найти как середину отрезка, соединяющего центры симметрии обоих квадратов. В этом случае стороны квадратов будут антипараллельны (например, вектор $\vec{AB}$ будет параллелен вектору $\vec{B'A'}$).

3. Срединные перпендикуляры совпадают.
Это редкий случай, который может возникнуть, если центр поворота $O$ лежит на прямой, проходящей через выбранные вершины (например, $A$ и $B$). Чтобы найти центр, необходимо взять третью вершину $C$, не лежащую на прямой $AB$, и пересечь срединный перпендикуляр к $AA'$ со срединным перпендикуляром к $CC'$.

Ответ: Центр поворота, совмещающего два равных квадрата, находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к двум отрезкам, которые соединяют две пары соответствующих вершин (например, $A$ с $A'$ и $C$ с $C'$). Если эти срединные перпендикуляры оказываются параллельны, то совмещение квадратов возможно только с помощью параллельного переноса, и в этом случае конечного центра поворота не существует.