Номер 2.51, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.51. Докажите, что при движении:

1) прямая отображается в прямую;

2) луч – в луч;

3) угол – в равный себе угол;

4) окружность – в равную себе окружность.

1) прямая отображается в прямую

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Пусть $f$ — движение. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ расстояние между их образами $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ равно расстоянию между исходными точками: $|A'B'| = |AB|$.

Рассмотрим произвольную прямую $l$. Выберем на ней две различные точки $A$ и $B$. Любая точка $C$ на прямой $l$ удовлетворяет одному из трех условий, вытекающих из аксиомы принадлежности точки прямой:
1. $C$ лежит между $A$ и $B$, тогда $|AC| + |CB| = |AB|$.
2. $A$ лежит между $C$ и $B$, тогда $|CA| + |AB| = |CB|$.
3. $B$ лежит между $A$ и $C$, тогда $|AB| + |BC| = |AC|$.

Пусть $A' = f(A)$, $B' = f(B)$ и $C' = f(C)$ — образы точек $A$, $B$ и $C$ при движении $f$. Так как движение сохраняет расстояния, мы имеем $|A'C'| = |AC|$, $|C'B'| = |CB|$ и $|A'B'| = |AB|$.

Подставив эти равенства в три вышеуказанных условия, получаем:
1. Если $|AC| + |CB| = |AB|$, то $|A'C'| + |C'B'| = |A'B'|$. Это означает, что точка $C'$ лежит на отрезке $A'B'$.
2. Если $|CA| + |AB| = |CB|$, то $|C'A'| + |A'B'| = |C'B'|$. Это означает, что точка $A'$ лежит на отрезке $C'B'$.
3. Если $|AB| + |BC| = |AC|$, то $|A'B'| + |B'C'| = |A'C'|$. Это означает, что точка $B'$ лежит на отрезке $A'C'$.

Во всех случаях, если точка $C$ лежит на прямой $AB$, то ее образ $C'$ лежит на прямой $A'B'$. Это доказывает, что образ прямой $l$ содержится в прямой $l'$, проходящей через точки $A'$ и $B'$.

Чтобы доказать, что образ прямой $l$ совпадает с прямой $l'$, нужно показать, что любая точка $D'$ на прямой $l'$ является образом некоторой точки $D$ на прямой $l$. Движение является взаимно однозначным отображением (биекцией), поэтому существует обратное движение $f^{-1}$. Обратное движение также сохраняет расстояния. Пусть $D = f^{-1}(D')$. Так как $f^{-1}$ — движение, оно отображает прямую $l'$ в прямую. Поскольку $A=f^{-1}(A')$ и $B=f^{-1}(B')$, прямая $l'$ отображается в прямую $l$. А так как $D'$ лежит на $l'$, ее прообраз $D$ должен лежать на $l$.

Таким образом, движение отображает каждую точку прямой в точку на некоторой другой прямой, и каждая точка этой другой прямой является образом некоторой точки исходной прямой.

Ответ: При движении образом прямой является прямая.

2) луч - в луч

Луч $OA$ — это множество точек на прямой $OA$, лежащих по одну сторону от точки $O$, включая саму точку $O$. Точка $X$ принадлежит лучу $OA$, если она лежит на прямой $OA$ и выполняется одно из двух условий: либо $X$ лежит на отрезке $OA$ ($|OX| + |XA| = |OA|$), либо $A$ лежит на отрезке $OX$ ($|OA| + |AX| = |OX|$).

Пусть $f$ — движение. Пусть $O' = f(O)$, $A' = f(A)$ и $X' = f(X)$ — образы точек. Из пункта 1 мы знаем, что прямая $OA$ отображается в прямую $O'A'$. Следовательно, образ точки $X$, лежащей на прямой $OA$, также будет лежать на прямой $O'A'$.

Поскольку движение сохраняет расстояния, если для точки $X$ на луче $OA$ выполнялось $|OX| + |XA| = |OA|$, то для ее образа $X'$ будет выполняться $|O'X'| + |X'A'| = |O'A'|$. Это значит, что $X'$ лежит на отрезке $O'A'$.

Если же для точки $X$ выполнялось $|OA| + |AX| = |OX|$, то для ее образа $X'$ будет выполняться $|O'A'| + |A'X'| = |O'X'|$. Это значит, что $A'$ лежит на отрезке $O'X'$.

В обоих случаях точка $X'$ будет принадлежать лучу $O'A'$. Таким образом, образ луча $OA$ является лучом $O'A'$. Начало луча $O$ переходит в начало луча $O'$.

Ответ: При движении образом луча является луч.

3) угол - в равный себе угол

Угол $\angle AOB$ образован двумя лучами $OA$ и $OB$, выходящими из одной точки $O$ (вершины угла).

Пусть $f$ — движение. Согласно доказанному в пункте 2, луч $OA$ отобразится в луч $O'A'$, а луч $OB$ — в луч $O'B'$, где $O' = f(O)$, $A' = f(A)$, $B' = f(B)$. Следовательно, угол $\angle AOB$ отобразится в угол $\angle A'O'B'$.

Чтобы доказать, что эти углы равны, рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'O'B'$. Так как движение сохраняет расстояния, то длины сторон этих треугольников будут соответственно равны:
$|O'A'| = |OA|$
$|O'B'| = |OB|$
$|A'B'| = |AB|$

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), $\triangle A'O'B' \cong \triangle AOB$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол при вершине $O$ равен углу при вершине $O'$: $\angle AOB = \angle A'O'B'$.

Ответ: При движении угол отображается в равный ему угол.

4) окружность - в равную себе окружность

Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ — это множество всех точек $X$ плоскости, для которых расстояние до центра постоянно и равно радиусу: $|OX| = r$.

Пусть $f$ — движение. Пусть $O'$ — образ центра $O$ при этом движении ($O' = f(O)$). Возьмем произвольную точку $X$ на исходной окружности. Для нее выполняется равенство $|OX| = r$.

Пусть $X'$ — образ точки $X$ ($X' = f(X)$). Так как движение сохраняет расстояние, то $|O'X'| = |OX|$.

Отсюда следует, что $|O'X'| = r$. Это означает, что образ любой точки $X$ исходной окружности лежит на окружности с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$. Таким образом, образ исходной окружности содержится в новой окружности.

Теперь докажем, что любая точка $Y'$ на новой окружности (с центром $O'$ и радиусом $r$) является образом некоторой точки исходной окружности. Для точки $Y'$ выполняется $|O'Y'| = r$. Рассмотрим ее прообраз $Y = f^{-1}(Y')$, где $f^{-1}$ — движение, обратное к $f$. Так как $f^{-1}$ также сохраняет расстояния, то $|OY| = |f^{-1}(O')f^{-1}(Y')| = |O'Y'| = r$. Это означает, что точка $Y$ лежит на исходной окружности с центром $O$ и радиусом $r$.

Следовательно, движение отображает окружность в окружность с тем же радиусом, то есть в равную ей окружность.

Ответ: При движении окружность отображается в равную ей окружность.