Номер 2.54, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.54. Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ выполняются равенства $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$. Докажите, что найдется единственное движение, отображающее точки $A, B, C$ в точки $A_1, B_1, C_1$ соответственно.

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

Существование. Докажем, что существует движение (изометрия), переводящее $\triangle ABC$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По условию, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$, следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Построим искомое движение как композицию (последовательное применение) простых движений.
1. Совместим точку $A$ с точкой $A_1$ с помощью параллельного переноса $T$ на вектор $\vec{AA_1}$. В результате этого переноса $\triangle ABC$ перейдет в равный ему $\triangle A_1B'C'$, где $B' = T(B)$ и $C' = T(C)$.
2. Так как $A_1B' = AB = A_1B_1$, точки $B'$ и $B_1$ лежат на окружности с центром в $A_1$. Совместим точку $B'$ с точкой $B_1$ с помощью поворота $R$ вокруг точки $A_1$. Пусть $\triangle A_1B'C'$ при этом повороте перейдет в $\triangle A_1B_1C''$.
3. После двух преобразований мы получили $\triangle A_1B_1C''$, равный исходному $\triangle ABC$. Следовательно, $A_1C'' = AC = A_1C_1$ и $B_1C'' = BC = B_1C_1$. Это означает, что точка $C''$ равноудалена от точек $A_1$ и $B_1$ так же, как и точка $C_1$. Поскольку точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой, таких точек на плоскости может быть только две, и они симметричны относительно прямой $A_1B_1$.
Таким образом, либо $C''$ совпадает с $C_1$, и тогда искомое движение есть композиция $R \circ T$. Либо $C''$ симметрична $C_1$ относительно прямой $A_1B_1$. В этом случае применим осевую симметрию $S$ относительно прямой $A_1B_1$. Она переведет $C''$ в $C_1$, оставив $A_1$ и $B_1$ на месте. Тогда искомое движение есть $S \circ R \circ T$.
В обоих случаях движение, переводящее $A, B, C$ в $A_1, B_1, C_1$, существует.

Единственность. Докажем, что такое движение единственно. Предположим, что существуют два различных движения, $f$ и $g$, каждое из которых переводит $A, B, C$ в $A_1, B_1, C_1$ соответственно.
Рассмотрим движение $h = g^{-1} \circ f$. Оно оставляет точки $A, B, C$ неподвижными: $h(A) = g^{-1}(f(A)) = g^{-1}(A_1) = A$; аналогично $h(B)=B$ и $h(C)=C$.
Пусть $P$ — произвольная точка плоскости, а $P' = h(P)$. Так как $h$ является движением, оно сохраняет расстояния. Следовательно, $|P'A| = |h(P)h(A)| = |PA|$. Аналогично, $|P'B| = |PB|$ и $|P'C| = |PC|$.
Точки $P$ и $P'$ равноудалены от трех точек $A, B, C$, не лежащих на одной прямой. Если предположить, что $P \neq P'$, то точки $A, B, C$ должны лежать на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $PP'$. Это противоречит условию, что $A, B, C$ являются вершинами треугольника.
Следовательно, $P$ и $P'$ должны совпадать для любой точки $P$. Это означает, что $h$ является тождественным преобразованием ($h=id$).
Из равенства $g^{-1} \circ f = id$ следует, что $f=g$. Это противоречит нашему предположению о том, что движения $f$ и $g$ различны. Следовательно, движение, отображающее $A, B, C$ в $A_1, B_1, C_1$, единственно.

Ответ: Что и требовалось доказать.