Номер 2.57, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.57. Докажите, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно прямой, соединяющей их центры.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Предположим, что эти окружности пересекаются в двух различных точках $A$ и $B$. Прямая, соединяющая центры, — это прямая $O_1O_2$.

Требуется доказать, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$. По определению осевой симметрии, это означает, что прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

1. Соединим центры окружностей $O_1$ и $O_2$ с точками пересечения $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle O_1AO_2$ и $\triangle O_1BO_2$.

2. Сравним стороны этих треугольников:
- Стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами первой окружности, следовательно, $O_1A = O_1B = R_1$.
- Стороны $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами второй окружности, следовательно, $O_2A = O_2B = R_2$.
- Сторона $O_1O_2$ является общей для обоих треугольников.

3. Таким образом, $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. Он является равнобедренным, так как его боковые стороны $O_1A$ и $O_1B$ равны как радиусы одной окружности. Отрезок $AB$ является его основанием.

6. Пусть $M$ — точка пересечения прямой $O_1O_2$ и отрезка $AB$. В треугольнике $\triangle AO_1B$ отрезок $O_1M$ является биссектрисой угла при вершине $\angle AO_1B$, так как $\angle AO_1M = \angle AO_1O_2$ и $\angle BO_1M = \angle BO_1O_2$, а мы доказали, что эти углы равны.

7. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.
- Как высота, $O_1M$ перпендикулярна основанию $AB$, то есть $O_1M \perp AB$. Поскольку $O_1M$ лежит на прямой $O_1O_2$, то и вся прямая $O_1O_2$ перпендикулярна отрезку $AB$.
- Как медиана, $O_1M$ делит основание $AB$ пополам, то есть $AM = MB$.

8. Мы доказали, что прямая $O_1O_2$ проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Следовательно, прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

9. Это по определению означает, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.