Номер 2.64, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.64. В окружность вписан треугольник $ABC$. Впишите второй треугольник $A_1B_1C_1$ в эту окружность так, чтобы выполнялись условия $AB \perp A_1B_1$, $AC \perp A_1C_1$, $BC \perp B_1C_1$.

Пусть дана окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ и вписанный в нее треугольник $ABC$. Требуется построить треугольник $A_1B_1C_1$, также вписанный в окружность $\Omega$, такой, что его стороны перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника $ABC$: $A_1B_1 \perp AB$, $B_1C_1 \perp BC$ и $C_1A_1 \perp AC$.

Рассмотрим свойства искомого треугольника $A_1B_1C_1$. Угол между двумя прямыми равен углу между двумя другими прямыми, которые соответственно перпендикулярны первым двум. Отсюда следует, что углы треугольника $A_1B_1C_1$ равны соответствующим углам треугольника $ABC$. Например, угол при вершине $A_1$, образованный сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$, равен углу при вершине $A$, образованному сторонами $AB$ и $AC$. Таким образом, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Поскольку оба треугольника вписаны в одну и ту же окружность, их подобие означает, что они конгруэнтны. Следовательно, треугольник $A_1B_1C_1$ может быть получен из треугольника $ABC$ с помощью движения (изометрии), сохраняющего окружность $\Omega$. Такими движениями являются поворот вокруг центра окружности $O$ или осевая симметрия относительно диаметра окружности.

Случай осевой симметрии не подходит для произвольного треугольника $ABC$. Если бы $\triangle A_1B_1C_1$ был получен отражением $\triangle ABC$ относительно некоторого диаметра, то для перпендикулярности стороны $AB$ и ее образа $A_1B_1$ необходимо, чтобы угол между прямой $AB$ и осью симметрии составлял $45^\circ$. Это же условие должно выполняться для сторон $BC$ и $AC$. Однако в общем случае стороны произвольного треугольника не образуют одинаковые углы с какой-либо одной прямой.

Следовательно, преобразование, переводящее $\triangle ABC$ в $\triangle A_1B_1C_1$, является поворотом вокруг центра описанной окружности $O$. Угол поворота $\theta$ определяет угол между любой прямой и ее образом. По условию задачи, стороны треугольника $A_1B_1C_1$ должны быть перпендикулярны сторонам треугольника $ABC$. Это означает, что угол поворота должен быть равен $90^\circ$ или $-90^\circ$ (т.е. $270^\circ$).

Таким образом, для построения искомого треугольника $A_1B_1C_1$ необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$. Центр $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2. Выбрать направление поворота: по часовой стрелке (на $-90^\circ$) или против часовой стрелки (на $+90^\circ$).
3. Построить вершины нового треугольника. Для этого нужно повернуть каждую вершину исходного треугольника на выбранный угол вокруг центра $O$. Например, для нахождения вершины $A_1$ нужно построить радиус $OA_1$ так, чтобы он был перпендикулярен радиусу $OA$. Точка $A_1$ будет одним из двух пересечений перпендикуляра к $OA$, проведенного через точку $O$, с окружностью.
4. Аналогично строятся точки $B_1$ и $C_1$, поворачивая точки $B$ и $C$ на тот же угол и в том же направлении. То есть, радиус $OB_1$ должен быть перпендикулярен $OB$, а радиус $OC_1$ — перпендикулярен $OC$.
5. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. Существует два таких треугольника, соответствующих двум возможным направлениям поворота.

На рисунке ниже показан пример такого построения для поворота против часовой стрелки на $90^\circ$. Синий треугольник $ABC$ поворачивается вокруг центра $O$ на $90^\circ$, в результате чего получается красный треугольник $A_1B_1C_1$. Показан поворот вершины $C$ в $C_1$ (радиус $OC$ переходит в $OC_1$).

По построению, треугольник $A_1B_1C_1$ вписан в ту же окружность $\Omega$. Он получен из треугольника $ABC$ поворотом вокруг центра $O$ на угол $\theta = \pm 90^\circ$. При повороте прямая, содержащая отрезок $AB$, переходит в прямую, содержащую отрезок $A_1B_1$. Угол между исходной прямой и ее образом равен углу поворота. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $A_1B_1$ равен $\pm 90^\circ$, что означает $AB \perp A_1B_1$. Аналогично доказывается, что $BC \perp B_1C_1$ и $AC \perp A_1C_1$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник $A_1B_1C_1$ получается путем поворота исходного треугольника $ABC$ вокруг центра его описанной окружности на угол $90^\circ$ по часовой или против часовой стрелки.