Номер 2.61, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.61. Докажите, что две трапеции равны между собой, если четыре стороны одной трапеции равны соответствующим сторонам другой трапеции.

Рассмотрим две трапеции $ABCD$ и $A'B'C'D'$, у которых соответственные стороны равны. Пусть стороны $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ являются её основаниями, то есть $BC \parallel AD$. Тогда, в силу соответствия, в трапеции $A'B'C'D'$ основаниями будут стороны $B'C'$ и $A'D'$, то есть $B'C' \parallel A'D'$.

По условию задачи имеем:

$AB = A'B'$ (боковая сторона)

$BC = B'C'$ (меньшее основание)

$CD = C'D'$ (боковая сторона)

$AD = A'D'$ (большее основание)

Для доказательства равенства трапеций необходимо показать, что у них равны не только соответственные стороны, но и соответственные углы.

Проведём в трапеции $ABCD$ из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Поскольку $CE \parallel AB$ (по построению) и $BC \parallel AE$ (так как $BC \parallel AD$), четырёхугольник $ABCE$ является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что $CE = AB$ и $AE = BC$.

Рассмотрим треугольник $CDE$. Его стороны равны:

• $CD$ — по условию.
• $CE = AB$.
• $DE = AD - AE = AD - BC$.

Аналогичное построение выполним в трапеции $A'B'C'D'$, проведя отрезок $C'E' \parallel A'B'$. Получим параллелограмм $A'B'C'E'$ и треугольник $C'D'E'$. Стороны треугольника $C'D'E'$ равны:

• $C'D'$ — по условию.
• $C'E' = A'B'$.
• $D'E' = A'D' - A'E' = A'D' - B'C'$.

Сравним треугольники $CDE$ и $C'D'E'$. Так как по условию $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CD = C'D'$ и $AD = A'D'$, то стороны этих треугольников соответственно равны:

• $CD = C'D'$
• $CE = AB = A'B' = C'E'$
• $DE = AD - BC = A'D' - B'C' = D'E'$

Следовательно, треугольник $CDE$ равен треугольнику $C'D'E'$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), то есть $\triangle CDE \cong \triangle C'D'E'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов:

$\angle D = \angle D'$

$\angle CED = \angle C'E'D'$

Теперь найдём углы трапеций. Угол $\angle D$ трапеции $ABCD$ равен углу $\angle D$ треугольника $CDE$. Таким образом, мы уже доказали, что $\angle D = \angle D'$.

Так как $CE \parallel AB$, а $AD$ — секущая, то $\angle A = \angle CED$ как соответственные углы. Аналогично, $\angle A' = \angle C'E'D'$. Поскольку $\angle CED = \angle C'E'D'$, то и $\angle A = \angle A'$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A$

$\angle C = 180^\circ - \angle D$

Аналогично для второй трапеции:

$\angle B' = 180^\circ - \angle A'$

$\angle C' = 180^\circ - \angle D'$

Так как $\angle A = \angle A'$, то $\angle B = \angle B'$.

Так как $\angle D = \angle D'$, то $\angle C = \angle C'$.

Таким образом, мы доказали, что у трапеций $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны все соответственные стороны (по условию) и все соответственные углы. Следовательно, эти трапеции равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.