Номер 2.62, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Докажите, что число сторон многоугольника четное, если он имеет центр симметрии.

Пусть дан многоугольник, имеющий центр симметрии $O$. Обозначим число его вершин (и сторон) через $n$. Вершины многоугольника обозначим в порядке обхода $A_1, A_2, \dots, A_n$.

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, такую что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. По условию, если многоугольник имеет центр симметрии $O$, то при этом преобразовании он переходит сам в себя.

Рассмотрим, во что переходят вершины многоугольника при симметрии относительно центра $O$.

1. Образ вершины является вершиной.
Пусть $A_i$ — произвольная вершина многоугольника. Ее образ $A_i'$ при симметрии относительно $O$ должен принадлежать многоугольнику. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния и углы. Угол при вершине $A_i$ не равен $180^\circ$ (для невырожденного многоугольника). Так как симметрия сохраняет углы, то и в точке $A_i'$ угол, образованный образами сторон, сходящихся в $A_i$, будет таким же. Если бы точка $A_i'$ лежала на одной из сторон многоугольника, не будучи вершиной, то угол в этой точке был бы развернутым ($180^\circ$). Следовательно, образ вершины $A_i'$ не может лежать на стороне, а значит, сам должен быть одной из вершин многоугольника.

2. Никакая вершина не переходит в себя.
Предположим, что некоторая вершина $A_k$ при симметрии относительно $O$ переходит сама в себя. Это означает, что центр симметрии $O$ совпадает с вершиной $A_k$. Но тогда для любой другой вершины $A_j$ ее симметричный образ $A_j'$ должен лежать на прямой $A_jA_k$ на том же расстоянии от $A_k$, что и $A_j$, но по другую сторону. Для простого (несамопересекающегося) многоугольника это невозможно, так как точка $A_j'$ оказалась бы вне многоугольника или привела бы к вырождению многоугольника в отрезок. Таким образом, центр симметрии не может совпадать ни с одной из вершин.

3. Разбиение вершин на пары.
Из пунктов 1 и 2 следует, что при симметрии относительно центра $O$ каждая вершина $A_i$ переходит в некоторую другую вершину $A_j$. Так как центральная симметрия является обратной самой себе (если $A_i$ переходит в $A_j$, то $A_j$ переходит в $A_i$), то все $n$ вершин многоугольника можно разбить на непересекающиеся пары $(A_i, A_j)$, где вершины в каждой паре симметричны друг другу относительно центра $O$.

На рисунке ниже показан пример шестиугольника с центром симметрии $O$. Вершины разбиваются на пары: $(A_1, A_4)$, $(A_2, A_5)$ и $(A_3, A_6)$.

Поскольку все вершины разбиты на пары, их общее количество $n$ должно быть кратно двум, то есть $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Таким образом, число вершин многоугольника четное.

Число сторон в многоугольнике равно числу его вершин. Следовательно, число сторон многоугольника, имеющего центр симметрии, также является четным.

Ответ: Каждая вершина многоугольника при симметрии относительно его центра переходит в другую вершину. Таким образом, все вершины можно разбить на пары симметричных друг другу. Это означает, что общее число вершин четно. Поскольку число сторон многоугольника равно числу его вершин, оно также должно быть четным. Что и требовалось доказать.