Номер 2.69, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.69. Дан угол $AOB$, вершина которого расположена вне листа бумаги, и точка $C$, расположенная на одной из сторон этого угла. Постройте отрезок, равный $OC$.

Для решения задачи, то есть для построения отрезка, равного $OC$, где $O$ — недоступная вершина угла, воспользуемся методом, основанным на свойствах параллелограмма. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Обозначим стороны угла как лучи $l_1$ (содержащий точку $C$) и $l_2$.
2. Выберем на луче $l_2$ произвольную точку $B$.
3. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную лучу $l_2$.
4. Через точку $B$ проведём прямую, параллельную лучу $l_1$.
5. Точку пересечения двух построенных на шагах 3 и 4 прямых обозначим буквой $P$.
6. Отрезок $BP$ является искомым отрезком, так как его длина равна длине отрезка $OC$.

Доказательство:
Рассмотрим четырёхугольник $OCPB$, образованный недоступной вершиной $O$, точкой $C$ на луче $l_1$, точкой $B$ на луче $l_2$ и построенной точкой $P$.
По построению, прямая $CP$ параллельна лучу $l_2$, на котором лежит сторона $OB$. Следовательно, $CP \parallel OB$.
Также по построению, прямая $BP$ параллельна лучу $l_1$, на котором лежит сторона $OC$. Следовательно, $BP \parallel OC$.
По определению, четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $OCPB$ — параллелограмм.
Одно из основных свойств параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, длина стороны $OC$ равна длине стороны $BP$, то есть $OC = BP$.
Построение завершено, так как отрезок $BP$ построен на листе бумаги и его длина равна длине недоступного для прямого измерения отрезка $OC$.

Ответ: Искомый отрезок равен по длине отрезку $BP$, построенному согласно приведенному выше алгоритму.