Практическая работа, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Возьмите произвольный треугольник и постройте гомотетичный ему треугольник относительно данного центра гомотетии. Выполните задание, приняв: 1) $k=2$; 2) $k=\frac{1}{2}$.

2. Выполните предыдущее задание, заменяя треугольник на квадрат и окружность.

1. Гомотетия – это преобразование подобия, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, лежащую на прямой $OM$, где $O$ – фиксированная точка, называемая центром гомотетии. При этом выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $k$ – заданное число, отличное от нуля, называемое коэффициентом гомотетии.

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$ относительно центра $O$, достаточно построить образы его вершин $A', B', C'$ и соединить их отрезками. Положение точки $A'$ (образа точки $A$) определяется вектором $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Аналогично для вершин $B$ и $C$.

1) k=2;

Чтобы построить треугольник $A'B'C'$, гомотетичный треугольнику $ABC$ с коэффициентом $k=2$, выполним следующие действия:
1. Выберем произвольный треугольник $ABC$ и центр гомотетии $O$.
2. Проведем лучи $OA, OB, OC$.
3. На луче $OA$ отложим отрезок $OA'$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OA$. То есть, $OA' = 2 \cdot OA$.
4. Аналогично на луче $OB$ найдем точку $B'$ так, что $OB' = 2 \cdot OB$.
5. На луче $OC$ найдем точку $C'$ так, что $OC' = 2 \cdot OC$.
6. Соединим точки $A', B', C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ является гомотетичным исходному треугольнику $ABC$.

Ответ: Построение показано на рисунке выше. Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k=2$.

2) k=1/2.

Чтобы построить треугольник $A'B'C'$, гомотетичный треугольнику $ABC$ с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$, выполним следующие действия:
1. Выберем произвольный треугольник $ABC$ и центр гомотетии $O$.
2. Соединим отрезками центр $O$ с вершинами $A, B, C$.
3. Найдем середину отрезка $OA$ и обозначим ее $A'$. Точка $A'$ делит отрезок $OA$ в отношении 1:1, то есть $OA' = \frac{1}{2} \cdot OA$.
4. Аналогично найдем середину $B'$ отрезка $OB$.
5. Найдем середину $C'$ отрезка $OC$.
6. Соединим точки $A', B', C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ является гомотетичным исходному треугольнику $ABC$.

Ответ: Построение показано на рисунке выше. Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k=\frac{1}{2}$.

2. Принцип построения гомотетичных фигур для квадрата и окружности аналогичен построению для треугольника. Для многоугольника, такого как квадрат, мы строим образы его вершин. Для окружности достаточно построить образ ее центра и умножить радиус на модуль коэффициента гомотетии $|k|$.

Построение для квадрата:

1) k=2;

Для построения квадрата $A'B'C'D'$, гомотетичного квадрату $ABCD$ с коэффициентом $k=2$, необходимо найти образы его вершин $A', B', C', D'$ по правилу $\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA}$ и т.д., а затем соединить их.

Ответ: Построение для квадрата с $k=2$ показано на рисунке.

2) k=1/2.

Для построения квадрата $A'B'C'D'$, гомотетичного квадрату $ABCD$ с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$, необходимо найти середины отрезков $OA, OB, OC, OD$, обозначить их $A', B', C', D'$ и соединить.

Ответ: Построение для квадрата с $k=\frac{1}{2}$ показано на рисунке.

Построение для окружности:

Для построения окружности, гомотетичной данной окружности с центром $P$ и радиусом $r$, нужно:
1. Найти образ центра $P'$, такой что $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.
2. Вычислить новый радиус $r' = |k| \cdot r$.
3. Построить новую окружность с центром $P'$ и радиусом $r'$.

1) k=2;

Ответ: Построение для окружности с $k=2$ показано на рисунке. Центр $P'$ удален от $O$ вдвое дальше, чем $P$, а радиус новой окружности вдвое больше.

2) k=1/2.

Ответ: Построение для окружности с $k=\frac{1}{2}$ показано на рисунке. Центр $P'$ является серединой отрезка $OP$, а радиус новой окружности вдвое меньше.