Страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие фигуры называются подобными фигурами?

2. Какое число называется коэффициентом подобия?

3. Что вы понимаете под преобразованием подобия?

4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Сформулируйте их и докажите.

5. Что такое гомотетия? Какие точки называются гомотетичными?

6. Что такое центр гомотетии, коэффициент гомотетии?

7. Докажите, что гомотетия является преобразованием подобия.

8. Сформулируйте свойства гомотетии и докажите их.

1. Какие фигуры называются подобными фигурами?

Две геометрические фигуры F и F₁ называются подобными, если существует преобразование, называемое преобразованием подобия, которое переводит фигуру F в фигуру F₁. При этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Иными словами, для любых двух точек A и B фигуры F и их соответствующих образов A₁ и B₁ в фигуре F₁, отношение длин отрезков $A₁B₁$ и $AB$ является постоянной величиной: $\frac{A_1B_1}{AB} = k$, где $k$ — положительное число, называемое коэффициентом подобия. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться размерами.

Ответ: Две фигуры называются подобными, если одна может быть получена из другой путем преобразования подобия, то есть увеличением или уменьшением всех ее размеров в одинаковое число раз при сохранении всех углов.

2. Какое число называется коэффициентом подобия?

Коэффициентом подобия называется положительное число $k$, которое показывает, во сколько раз изменяются расстояния между соответствующими точками двух подобных фигур. Если фигуры F и F₁ подобны, то для любых двух точек A, B фигуры F и их образов A₁, B₁ фигуры F₁ выполняется равенство $A_1B_1 = k \cdot AB$.
Если $k > 1$, то происходит увеличение фигуры (растяжение).
Если $0 < k < 1$, то происходит уменьшение фигуры (сжатие).
Если $k = 1$, то фигуры равны, а преобразование подобия является движением (изометрией).

Ответ: Коэффициентом подобия называется положительное число $k$, равное отношению расстояний между соответствующими точками подобных фигур.

3. Что вы понимаете под преобразованием подобия?

Преобразование подобия — это такое преобразование плоскости (или пространства) в себя, при котором для любых двух точек M и N и их образов M' и N' расстояние между образами M'N' равно расстоянию между исходными точками MN, умноженному на некоторое постоянное положительное число $k$. Это можно записать формулой: $M'N' = k \cdot MN$. Число $k$ называется коэффициентом подобия. Преобразование подобия сохраняет форму фигур, но изменяет их размеры (если $k \ne 1$). Частным случаем преобразования подобия при $k=1$ является движение (изометрическое преобразование), которое сохраняет и форму, и размеры.

Ответ: Преобразование подобия — это отображение плоскости на себя, изменяющее все расстояния в одно и то же число раз.

4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Сформулируйте их и докажите.

Преобразование подобия обладает следующими основными свойствами:

Свойство 1: Преобразование подобия переводит прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок.
Доказательство: Пусть на прямой $l$ лежат три точки A, B и C, причём точка C лежит между A и B. Тогда выполняется равенство $AC + CB = AB$. Пусть f — преобразование подобия с коэффициентом $k$, которое переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. По определению преобразования подобия, $A'C' = k \cdot AC$, $C'B' = k \cdot CB$, $A'B' = k \cdot AB$. Подставив эти выражения в исходное равенство, получим: $\frac{A'C'}{k} + \frac{C'B'}{k} = \frac{A'B'}{k}$. Умножив обе части на $k$, получим $A'C' + C'B' = A'B'$. Это означает, что точка C' лежит на отрезке A'B'. Так как это верно для любой точки C между A и B, то образ отрезка AB есть отрезок A'B'. Рассуждая аналогично для любой точки прямой, доказываем, что образом прямой $l$ является прямая $l'$, проходящая через точки A' и B'. Аналогично доказывается для луча.

Свойство 2: Преобразование подобия сохраняет углы между лучами.
Доказательство: Рассмотрим угол с вершиной в точке A, образованный лучами AB и AC. Пусть f — преобразование подобия с коэффициентом $k$, которое переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Рассмотрим треугольник ABC и его образ — треугольник A'B'C'. По определению подобия, стороны треугольника A'B'C' пропорциональны сторонам треугольника ABC: $A'B' = k \cdot AB$, $A'C' = k \cdot AC$, $B'C' = k \cdot BC$. Следовательно, треугольник A'B'C' подобен треугольнику ABC по третьему признаку подобия треугольников (по трём сторонам). Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle B'A'C' = \angle BAC$. Таким образом, угол сохраняется.

Свойство 3: Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство (для многоугольников): Любой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников. Пусть многоугольник P разбит на треугольники $T_1, T_2, \ldots, T_n$. Тогда его площадь $S(P) = \sum S(T_i)$. Преобразование подобия с коэффициентом $k$ переведёт многоугольник P в подобный ему многоугольник P', а каждый треугольник $T_i$ — в подобный ему треугольник $T'_i$. Площадь подобного треугольника $T'_i$ связана с площадью исходного $T_i$ соотношением $S(T'_i) = k^2 \cdot S(T_i)$. Тогда площадь многоугольника P' равна $S(P') = \sum S(T'_i) = \sum k^2 \cdot S(T_i) = k^2 \sum S(T_i) = k^2 \cdot S(P)$. Отсюда $\frac{S(P')}{S(P)} = k^2$.

Ответ: Основные свойства преобразования подобия: 1) переводит прямые в прямые; 2) сохраняет углы; 3) отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

5. Что такое гомотетия? Какие точки называются гомотетичными?

Гомотетия — это вид геометрического преобразования плоскости (или пространства), задаваемый точкой O (центром гомотетии) и числом $k \ne 0$ (коэффициентом гомотетии). Гомотетия с центром O и коэффициентом $k$ переводит каждую точку M в такую точку M', что выполняется векторное равенство: $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.
Это означает, что точка M' лежит на прямой OM. Если $k > 0$, то M' лежит на луче OM, и расстояние $OM' = k \cdot OM$. Если $k < 0$, то M' лежит на луче, дополнительном к OM, и расстояние $OM' = |k| \cdot OM$. Центр гомотетии O переходит сам в себя.
Точки M и M', связанные таким преобразованием, называются гомотетичными.

Ответ: Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка M переходит в точку M' такую, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где O — центр, а $k$ — коэффициент гомотетии. Точки M и M' называются гомотетичными.

6. Что такое центр гомотетии, коэффициент гомотетии?

Центр гомотетии — это единственная неподвижная точка (если $k \ne 1$), относительно которой происходит преобразование гомотетии. Она обозначается O. Все точки плоскости "растягиваются" или "сжимаются" по отношению к этому центру.
Коэффициент гомотетии — это ненулевое число $k$, которое определяет масштаб и направление преобразования.

• Если $|k| > 1$, гомотетия является растяжением.
• Если $0 < |k| < 1$, гомотетия является сжатием.
• Если $k > 0$, гомотетия называется прямой. Точка и её образ лежат по одну сторону от центра гомотетии.
• Если $k < 0$, гомотетия называется обратной. Точка и её образ лежат по разные стороны от центра.
• Если $k=1$, гомотетия является тождественным преобразованием (каждая точка переходит в себя).
• Если $k=-1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра O.

Ответ: Центр гомотетии — это фиксированная точка O, относительно которой выполняется преобразование. Коэффициент гомотетии — это число $k \ne 0$, определяющее, во сколько раз изменяется расстояние от центра до любой точки фигуры.

7. Докажите, что гомотетия является преобразованием подобия.

Чтобы доказать, что гомотетия является преобразованием подобия, нужно показать, что она изменяет расстояние между любыми двумя точками в одно и то же число раз. Пусть задана гомотетия с центром O и коэффициентом $k$. Возьмём две произвольные точки M и N и их образы M' и N'.
По определению гомотетии:
$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$
$\vec{ON'} = k \cdot \vec{ON}$
Рассмотрим вектор $\vec{M'N'}$. Используя правило вычитания векторов, имеем:
$\vec{M'N'} = \vec{ON'} - \vec{OM'}$
Подставим выражения для $\vec{ON'}$ и $\vec{OM'}$:
$\vec{M'N'} = k \cdot \vec{ON} - k \cdot \vec{OM} = k \cdot (\vec{ON} - \vec{OM})$
Поскольку $\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{MN}$, получаем:
$\vec{M'N'} = k \cdot \vec{MN}$
Теперь найдем расстояние M'N', которое равно длине (модулю) вектора $\vec{M'N'}$:
$M'N' = |\vec{M'N'}| = |k \cdot \vec{MN}| = |k| \cdot |\vec{MN}| = |k| \cdot MN$
Так как $k$ — постоянное число, то $|k|$ также является постоянным положительным числом. Мы показали, что расстояние между образами M' и N' равно расстоянию между исходными точками M и N, умноженному на постоянное число $|k|$. Это в точности соответствует определению преобразования подобия с коэффициентом подобия, равным $|k|$.
Следовательно, гомотетия является преобразованием подобия.

Ответ: Гомотетия является преобразованием подобия, так как расстояние между любыми двумя точками M и N преобразуется по правилу $M'N' = |k| \cdot MN$, где $|k|$ — постоянный для данного преобразования коэффициент.

8. Сформулируйте свойства гомотетии и докажите их.

Гомотетия, как частный случай преобразования подобия, обладает всеми его свойствами, а также имеет свои специфические.

Свойство 1: Гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую. Прямая, проходящая через центр гомотетии, переходит в себя.
Доказательство: В ходе доказательства в предыдущем пункте мы установили, что для любых двух точек M и N и их образов M' и N' выполняется векторное равенство $\vec{M'N'} = k \cdot \vec{MN}$. Это означает, что вектор $\vec{M'N'}$ коллинеарен вектору $\vec{MN}$. Следовательно, прямая M'N', на которой лежат образы, параллельна исходной прямой MN. Если же прямая $l$ проходит через центр гомотетии O, то для любой точки $M \in l$ ее образ $M'$ по определению ($\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$) лежит на той же прямой OM, то есть на прямой $l$. Значит, прямая $l$ переходит сама в себя.

Свойство 2: При гомотетии фигура F переходит в гомотетичную (а значит и подобную) ей фигуру F'.
Доказательство: Это свойство является прямым следствием того, что гомотетия — это преобразование подобия, как было доказано в пункте 7. Коэффициент подобия равен $|k|$.

Свойство 3: Композиция двух гомотетий с общим центром O и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является гомотетией с тем же центром O и коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
Доказательство: Пусть $H_1$ — гомотетия с центром O и коэффициентом $k_1$, а $H_2$ — гомотетия с тем же центром O и коэффициентом $k_2$. Применим их последовательно к произвольной точке M.
Сначала применим $H_1$: $M' = H_1(M)$. По определению, $\vec{OM'} = k_1 \cdot \vec{OM}$.
Теперь к точке M' применим $H_2$: $M'' = H_2(M')$. По определению, $\vec{OM''} = k_2 \cdot \vec{OM'}$.
Подставим в последнее равенство выражение для $\vec{OM'}$:
$\vec{OM''} = k_2 \cdot (k_1 \cdot \vec{OM}) = (k_1 k_2) \cdot \vec{OM}$.
Полученное равенство $\vec{OM''} = (k_1 k_2) \cdot \vec{OM}$ по определению означает, что точка M'' получена из точки M гомотетией с центром O и коэффициентом $k = k_1 k_2$.

Ответ: Основные свойства гомотетии: 1) Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя. 2) Фигура переходит в подобную ей фигуру. 3) Композиция гомотетий с общим центром является гомотетией с тем же центром и произведением коэффициентов.

1. Возьмите произвольный треугольник и постройте гомотетичный ему треугольник относительно данного центра гомотетии. Выполните задание, приняв: 1) $k=2$; 2) $k=\frac{1}{2}$.

2. Выполните предыдущее задание, заменяя треугольник на квадрат и окружность.

1. Гомотетия – это преобразование подобия, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, лежащую на прямой $OM$, где $O$ – фиксированная точка, называемая центром гомотетии. При этом выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $k$ – заданное число, отличное от нуля, называемое коэффициентом гомотетии.

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$ относительно центра $O$, достаточно построить образы его вершин $A', B', C'$ и соединить их отрезками. Положение точки $A'$ (образа точки $A$) определяется вектором $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Аналогично для вершин $B$ и $C$.

1) k=2;

Чтобы построить треугольник $A'B'C'$, гомотетичный треугольнику $ABC$ с коэффициентом $k=2$, выполним следующие действия:
1. Выберем произвольный треугольник $ABC$ и центр гомотетии $O$.
2. Проведем лучи $OA, OB, OC$.
3. На луче $OA$ отложим отрезок $OA'$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OA$. То есть, $OA' = 2 \cdot OA$.
4. Аналогично на луче $OB$ найдем точку $B'$ так, что $OB' = 2 \cdot OB$.
5. На луче $OC$ найдем точку $C'$ так, что $OC' = 2 \cdot OC$.
6. Соединим точки $A', B', C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ является гомотетичным исходному треугольнику $ABC$.

Ответ: Построение показано на рисунке выше. Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k=2$.

2) k=1/2.

Чтобы построить треугольник $A'B'C'$, гомотетичный треугольнику $ABC$ с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$, выполним следующие действия:
1. Выберем произвольный треугольник $ABC$ и центр гомотетии $O$.
2. Соединим отрезками центр $O$ с вершинами $A, B, C$.
3. Найдем середину отрезка $OA$ и обозначим ее $A'$. Точка $A'$ делит отрезок $OA$ в отношении 1:1, то есть $OA' = \frac{1}{2} \cdot OA$.
4. Аналогично найдем середину $B'$ отрезка $OB$.
5. Найдем середину $C'$ отрезка $OC$.
6. Соединим точки $A', B', C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ является гомотетичным исходному треугольнику $ABC$.

Ответ: Построение показано на рисунке выше. Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k=\frac{1}{2}$.

2. Принцип построения гомотетичных фигур для квадрата и окружности аналогичен построению для треугольника. Для многоугольника, такого как квадрат, мы строим образы его вершин. Для окружности достаточно построить образ ее центра и умножить радиус на модуль коэффициента гомотетии $|k|$.

Построение для квадрата:

1) k=2;

Для построения квадрата $A'B'C'D'$, гомотетичного квадрату $ABCD$ с коэффициентом $k=2$, необходимо найти образы его вершин $A', B', C', D'$ по правилу $\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA}$ и т.д., а затем соединить их.

Ответ: Построение для квадрата с $k=2$ показано на рисунке.

2) k=1/2.

Для построения квадрата $A'B'C'D'$, гомотетичного квадрату $ABCD$ с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$, необходимо найти середины отрезков $OA, OB, OC, OD$, обозначить их $A', B', C', D'$ и соединить.

Ответ: Построение для квадрата с $k=\frac{1}{2}$ показано на рисунке.

Построение для окружности:

Для построения окружности, гомотетичной данной окружности с центром $P$ и радиусом $r$, нужно:
1. Найти образ центра $P'$, такой что $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.
2. Вычислить новый радиус $r' = |k| \cdot r$.
3. Построить новую окружность с центром $P'$ и радиусом $r'$.

1) k=2;

Ответ: Построение для окружности с $k=2$ показано на рисунке. Центр $P'$ удален от $O$ вдвое дальше, чем $P$, а радиус новой окружности вдвое больше.

2) k=1/2.

Ответ: Построение для окружности с $k=\frac{1}{2}$ показано на рисунке. Центр $P'$ является серединой отрезка $OP$, а радиус новой окружности вдвое меньше.