Страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.95. Верно ли утверждение: если два треугольника гомотетичны третьему треугольнику, то эти треугольники гомотетичны между собой?

Нет, данное утверждение не всегда верно.

Рассмотрим, почему это так, с помощью анализа преобразований.

Анализ в общем виде

Пусть у нас есть три треугольника: $\triangle_1$, $\triangle_2$ и $\triangle_3$.

По условию, $\triangle_1$ гомотетичен $\triangle_3$. Это означает, что существует преобразование гомотетии $H_1$ с центром $O_1$ и коэффициентом $k_1 \neq 0$, такое что $\triangle_1 = H_1(\triangle_3)$. Для любой точки $M_3$ из $\triangle_3$ соответствующая ей точка $M_1$ из $\triangle_1$ определяется векторным равенством: $\vec{O_1M_1} = k_1 \cdot \vec{O_1M_3}$.

Аналогично, $\triangle_2$ гомотетичен $\triangle_3$. Значит, существует гомотетия $H_2$ с центром $O_2$ и коэффициентом $k_2 \neq 0$, такая что $\triangle_2 = H_2(\triangle_3)$. Для любой точки $M_3$ из $\triangle_3$ соответствующая ей точка $M_2$ из $\triangle_2$ определяется равенством: $\vec{O_2M_2} = k_2 \cdot \vec{O_2M_3}$.

Мы хотим выяснить, является ли преобразование, переводящее $\triangle_2$ в $\triangle_1$, гомотетией.

Это преобразование является композицией двух преобразований: сначала обратного к $H_2$ (которое переводит $\triangle_2$ обратно в $\triangle_3$), а затем $H_1$ (которое переводит $\triangle_3$ в $\triangle_1$). Обратное преобразование к гомотетии $H_2(O_2, k_2)$ — это гомотетия $H_2^{-1}$ с тем же центром $O_2$ и коэффициентом $1/k_2$.

Таким образом, искомое преобразование $T$ есть $T = H_1 \circ H_2^{-1}$.

Композиция двух гомотетий является либо гомотетией, либо параллельным переносом.

• Если произведение коэффициентов не равно 1 (в нашем случае $k_1 \cdot \frac{1}{k_2} \neq 1$, то есть $k_1 \neq k_2$), то композиция $T$ будет гомотетией. В этом случае $\triangle_1$ и $\triangle_2$ гомотетичны.
• Если произведение коэффициентов равно 1 (то есть $k_1 = k_2$), то композиция $T$ является параллельным переносом на вектор $\vec{v} = (1 - k_1)\vec{O_2O_1}$.
  • Если при этом центры совпадают ($O_1 = O_2$), то вектор переноса нулевой, и $T$ — тождественное преобразование, которое является частным случаем гомотетии (с $k=1$). В этом случае $\triangle_1$ и $\triangle_2$ совпадают.
  • Если же центры не совпадают ($O_1 \neq O_2$) и $k_1 \neq 1$, то $T$ — нетривиальный параллельный перенос. Параллельный перенос (кроме тождественного) не является гомотетией, так как у него нет неподвижных точек (центра), в то время как у гомотетии (с $k \neq 1$) всегда есть одна неподвижная точка — её центр.

Следовательно, если взять две гомотетии с одинаковыми коэффициентами ($k_1=k_2 \neq 1$), но разными центрами, то треугольники $\triangle_1$ и $\triangle_2$ не будут гомотетичны друг другу, а будут получены друг из друга параллельным переносом.

Конкретный контрпример

Рассмотрим на координатной плоскости треугольник $\triangle_3$ с вершинами $A_3(1, 1)$, $B_3(3, 1)$, $C_3(1, 2)$.

1. Применим к нему гомотетию $H_1$ с центром в начале координат $O_1(0, 0)$ и коэффициентом $k_1 = 2$. Получим треугольник $\triangle_1$ с вершинами $A_1(2, 2)$, $B_1(6, 2)$, $C_1(2, 4)$. По определению, $\triangle_1$ гомотетичен $\triangle_3$.

2. Теперь применим к исходному треугольнику $\triangle_3$ другую гомотетию $H_2$ с тем же коэффициентом $k_2 = 2$, но с другим центром, например, $O_2(4, 0)$. Получим треугольник $\triangle_2$ с вершинами:

• $A_2: \vec{O_2A_2} = 2 \cdot \vec{O_2A_3} = 2 \cdot (1-4, 1-0) = 2 \cdot (-3, 1) = (-6, 2)$. Координаты $A_2 = O_2 + \vec{O_2A_2} = (4,0) + (-6,2) = (-2, 2)$.
• $B_2: \vec{O_2B_2} = 2 \cdot \vec{O_2B_3} = 2 \cdot (3-4, 1-0) = 2 \cdot (-1, 1) = (-2, 2)$. Координаты $B_2 = O_2 + \vec{O_2B_2} = (4,0) + (-2,2) = (2, 2)$.
• $C_2: \vec{O_2C_2} = 2 \cdot \vec{O_2C_3} = 2 \cdot (1-4, 2-0) = 2 \cdot (-3, 2) = (-6, 4)$. Координаты $C_2 = O_2 + \vec{O_2C_2} = (4,0) + (-6,4) = (-2, 4)$.

Итак, $\triangle_2$ имеет вершины $A_2(-2, 2)$, $B_2(2, 2)$, $C_2(-2, 4)$. Этот треугольник также гомотетичен $\triangle_3$.

Теперь проверим, гомотетичны ли $\triangle_1$ и $\triangle_2$.$\triangle_1$ имеет вершины $A_1(2, 2)$, $B_1(6, 2)$, $C_1(2, 4)$.$\triangle_2$ имеет вершины $A_2(-2, 2)$, $B_2(2, 2)$, $C_2(-2, 4)$.

Найдем векторы, соединяющие соответствующие вершины:

• $\vec{A_2A_1} = (2 - (-2), 2 - 2) = (4, 0)$
• $\vec{B_2B_1} = (6 - 2, 2 - 2) = (4, 0)$
• $\vec{C_2C_1} = (2 - (-2), 4 - 4) = (4, 0)$

Поскольку все три вектора равны, $\triangle_1$ получается из $\triangle_2$ параллельным переносом на вектор $\vec{v} = (4, 0)$. Как мы установили ранее, нетождественный параллельный перенос не является гомотетией. Следовательно, в данном случае треугольники $\triangle_1$ и $\triangle_2$ не гомотетичны друг другу.

Ответ: нет, не верно.