Страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников и соответствующий признак подобия прямоугольных треугольников.

2. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников и соответствующий признак подобия прямоугольных треугольников.

3. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников и соответствующий признак подобия прямоугольных треугольников.

1. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников и соответствующий признак подобия прямоугольных треугольников.

Первый признак подобия треугольников (по двум углам).
Формулировка: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:
Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A₁B₁C₁$, у которых $\angle A = \angle A₁$ и $\angle B = \angle B₁$. Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$.

По определению, для подобия треугольников необходимо доказать, что у них равны все углы и соответственные стороны пропорциональны.
1. Найдем третьи углы. По теореме о сумме углов треугольника: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ и $\angle C₁ = 180^\circ - \angle A₁ - \angle B₁$. Так как по условию $\angle A = \angle A₁$ и $\angle B = \angle B₁$, то и $\angle C = \angle C₁$. Таким образом, все углы треугольников соответственно равны.
2. Докажем пропорциональность сторон. Воспользуемся теоремой синусов. Для $\triangle ABC$: $ \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B} = 2R $, где $R$ – радиус описанной окружности.
Для $\triangle A₁B₁C₁$: $ \frac{A₁B₁}{\sin \angle C₁} = \frac{B₁C₁}{\sin \angle A₁} = \frac{A₁C₁}{\sin \angle B₁} = 2R₁ $, где $R₁$ – радиус описанной окружности.
Выразим стороны из этих равенств: $AB = 2R \sin \angle C$; $BC = 2R \sin \angle A$; $AC = 2R \sin \angle B$.
$A₁B₁ = 2R₁ \sin \angle C₁$; $B₁C₁ = 2R₁ \sin \angle A₁$; $A₁C₁ = 2R₁ \sin \angle B₁$.
Теперь найдем отношения соответственных сторон: $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{2R \sin \angle C}{2R₁ \sin \angle C₁} $. Так как $\angle C = \angle C₁$, то $\sin \angle C = \sin \angle C₁$, и $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{R}{R₁} $.
$ \frac{BC}{B₁C₁} = \frac{2R \sin \angle A}{2R₁ \sin \angle A₁} $. Так как $\angle A = \angle A₁$, то $\sin \angle A = \sin \angle A₁$, и $ \frac{BC}{B₁C₁} = \frac{R}{R₁} $.
$ \frac{AC}{A₁C₁} = \frac{2R \sin \angle B}{2R₁ \sin \angle B₁} $. Так как $\angle B = \angle B₁$, то $\sin \angle B = \sin \angle B₁$, и $ \frac{AC}{A₁C₁} = \frac{R}{R₁} $.
Таким образом, мы получили, что $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{BC}{B₁C₁} = \frac{AC}{A₁C₁} = k $, где $k = R/R₁$ – коэффициент подобия. Все условия определения подобных треугольников выполнены, следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$. Теорема доказана.

Признак подобия прямоугольных треугольников (по острому углу).
Формулировка: Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны два прямоугольных треугольника $ABC$ и $A₁B₁C₁$, у которых $\angle C = \angle C₁ = 90^\circ$. Пусть у них равны острые углы, например, $\angle A = \angle A₁$.
Мы имеем два треугольника, у которых равны по две пары углов: прямые углы ($\angle C = \angle C₁$) и острые углы ($\angle A = \angle A₁$). По первому признаку подобия (по двум углам) для произвольных треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$. Признак доказан.

Ответ: Сформулирован и доказан первый признак подобия треугольников (по двум углам) и как его следствие — признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу.

2. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников и соответствующий признак подобия прямоугольных треугольников.

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Формулировка: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:
Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A₁B₁C₁$, у которых $\angle A = \angle A₁$ и $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{AC}{A₁C₁} = k $. Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$.

Достаточно доказать, что $\angle B = \angle B₁$ и $\angle C = \angle C₁$. Тогда по первому признаку подобия треугольники будут подобны.
Рассмотрим $\triangle AB_2C_2$, который получается из $\triangle ABC$ путем наложения $\triangle A₁B₁C₁$ так, чтобы вершина $A₁$ совпала с $A$, а стороны $A₁B₁$ и $A₁C₁$ пошли по лучам $AB$ и $AC$ соответственно. Это возможно, так как $\angle A = \angle A₁$.
В этом случае $\triangle AB_2C_2$ равен $\triangle A₁B₁C₁$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $\angle AB_2C_2 = \angle B_1$ и $\angle AC_2B_2 = \angle C_1$.
Из условия $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{AC}{A₁C₁} $ и равенства сторон $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$ следует, что $ \frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2} $.
Это равенство означает, что стороны $AB$ и $AC$ разделены точками $B_2$ и $C_2$ в одинаковом отношении, считая от вершины $A$. По теореме, обратной теореме Фалеса (обобщенной), прямая $B_2C_2$ параллельна прямой $BC$.
Если $B_2C_2 \parallel BC$, то углы при пересечении этих параллельных прямых секущими $AB$ и $AC$ равны: $\angle AB_2C_2 = \angle B$ и $\angle AC_2B_2 = \angle C$ как соответственные углы.
Сопоставляя полученные равенства, имеем: $\angle B = \angle AB_2C_2 = \angle B₁$ и $\angle C = \angle AC_2B_2 = \angle C₁$.
Таким образом, у треугольников $ABC$ и $A₁B₁C₁$ равны два угла: $\angle A = \angle A₁$ (по условию) и, например, $\angle B = \angle B₁$ (по доказанному). По первому признаку подобия, $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$. Теорема доказана.

Признак подобия прямоугольных треугольников (по двум катетам).
Формулировка: Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны два прямоугольных треугольника $ABC$ и $A₁B₁C₁$, у которых $\angle C = \angle C₁ = 90^\circ$. Пусть их катеты пропорциональны: $ \frac{AC}{A₁C₁} = \frac{BC}{B₁C₁} $.
Угол, заключенный между катетами $AC$ и $BC$, — это прямой угол $C$. Аналогично для $\triangle A₁B₁C₁$ угол между катетами $A₁C₁$ и $B₁C₁$ — это прямой угол $C₁$. Так как все прямые углы равны, то $\angle C = \angle C₁$.
Таким образом, мы имеем два треугольника, у которых две стороны пропорциональны, а углы между ними равны. По второму признаку подобия для произвольных треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$. Признак доказан.

Ответ: Сформулирован и доказан второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и как его следствие — признак подобия прямоугольных треугольников по пропорциональности двух катетов.

3. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников и соответствующий признак подобия прямоугольных треугольников.

Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам).
Формулировка: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:
Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A₁B₁C₁$, у которых $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{BC}{B₁C₁} = \frac{AC}{A₁C₁} = k $. Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$.

Для доказательства подобия достаточно показать, что у этих треугольников равны соответственные углы. Докажем, например, что $\angle A = \angle A₁$.
Воспользуемся теоремой косинусов. Для $\triangle ABC$ косинус угла $A$ равен: $ \cos \angle A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} $.
Для $\triangle A₁B₁C₁$ косинус угла $A₁$ равен: $ \cos \angle A₁ = \frac{A₁B₁^2 + A₁C₁^2 - B₁C₁^2}{2 \cdot A₁B₁ \cdot A₁C₁} $.
Из условия теоремы имеем: $AB = k \cdot A₁B₁$, $BC = k \cdot B₁C₁$, $AC = k \cdot A₁C₁$. Подставим эти выражения в формулу для $\cos \angle A$: $ \cos \angle A = \frac{(k \cdot A₁B₁)^2 + (k \cdot A₁C₁)^2 - (k \cdot B₁C₁)^2}{2 \cdot (k \cdot A₁B₁) \cdot (k \cdot A₁C₁)} = \frac{k^2(A₁B₁^2 + A₁C₁^2 - B₁C₁^2)}{k^2(2 \cdot A₁B₁ \cdot A₁C₁)} $.
Сократив $k^2$ в числителе и знаменателе, получим: $ \cos \angle A = \frac{A₁B₁^2 + A₁C₁^2 - B₁C₁^2}{2 \cdot A₁B₁ \cdot A₁C₁} $.
Сравнивая это выражение с выражением для $\cos \angle A₁$, видим, что $\cos \angle A = \cos \angle A₁$.
Поскольку углы треугольника лежат в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, и на этом интервале функция косинуса монотонно убывает, из равенства косинусов следует равенство самих углов: $\angle A = \angle A₁$.
Аналогично можно доказать, что $\angle B = \angle B₁$ и $\angle C = \angle C₁$.
Поскольку у треугольников $ABC$ и $A₁B₁C₁$ две стороны пропорциональны ($ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{AC}{A₁C₁} $) и угол между ними равен ($\angle A = \angle A₁$), то по второму признаку подобия, $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$. Теорема доказана.

Признак подобия прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).
Формулировка: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны два прямоугольных треугольника $ABC$ и $A₁B₁C₁$ с прямыми углами $C$ и $C₁$. Пусть гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и катету другого: $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{AC}{A₁C₁} = k $.
Докажем, что третий катет $BC$ также пропорционален катету $B₁C₁$ с тем же коэффициентом $k$.
По теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ и $B₁C₁ = \sqrt{A₁B₁^2 - A₁C₁^2}$.
Из условия $AB = k \cdot A₁B₁$ и $AC = k \cdot A₁C₁$. Подставим в выражение для $BC$: $ BC = \sqrt{(k \cdot A₁B₁)^2 - (k \cdot A₁C₁)^2} = \sqrt{k^2(A₁B₁^2 - A₁C₁^2)} = k \sqrt{A₁B₁^2 - A₁C₁^2} $.
Так как $\sqrt{A₁B₁^2 - A₁C₁^2} = B₁C₁$, то получаем $BC = k \cdot B₁C₁$.
Отсюда $ \frac{BC}{B₁C₁} = k $.
Таким образом, все три стороны треугольника $ABC$ пропорциональны трем сторонам треугольника $A₁B₁C₁$: $ \frac{AB}{A₁B₁} = \frac{AC}{A₁C₁} = \frac{BC}{B₁C₁} = k $. По третьему признаку подобия для произвольных треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A₁B₁C₁$. Признак доказан.

Ответ: Сформулирован и доказан третий признак подобия треугольников (по трем сторонам) и как его следствие — признак подобия прямоугольных треугольников по пропорциональности гипотенузы и катета.

Постройте на глаз два подобных треугольника, результат проверьте по:

1) первому признаку;

2) второму признаку;

3) третьему признаку, производя необходимые измерительные работы.

Сначала построим на глаз два треугольника, которые выглядят подобными. Назовем их $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Чтобы они были подобны, их углы должны быть визуально одинаковыми, а стороны одного треугольника должны быть пропорционально больше или меньше сторон другого.

Для примера построим $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, где стороны второго треугольника примерно в 1.5 раза больше сторон первого.

Теперь произведем необходимые измерения с помощью линейки и транспортира, чтобы проверить подобие треугольников по трем признакам.

1) по первому признаку

Первый признак подобия гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

С помощью транспортира измерим углы построенных треугольников.
Для $\triangle ABC$:
$\angle A \approx 74^\circ$
$\angle B \approx 53^\circ$
Для $\triangle A_1B_1C_1$:
$\angle A_1 \approx 74^\circ$
$\angle B_1 \approx 53^\circ$

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого ($\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$), то треугольники подобны по первому признаку.

Ответ: Измерив по два соответственных угла в каждом треугольнике и убедившись в их попарном равенстве ($\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$), мы подтвердили подобие треугольников по первому признаку.

2) по второму признаку

Второй признак подобия гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

С помощью линейки измерим стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle A$ между ними в $\triangle ABC$. Затем измерим соответствующие стороны $A_1B_1$, $A_1C_1$ и угол $\angle A_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.
Измерения для $\triangle ABC$:
$AB \approx 4.0$ см
$AC \approx 3.7$ см
$\angle A \approx 74^\circ$
Измерения для $\triangle A_1B_1C_1$:
$A_1B_1 \approx 6.0$ см
$A_1C_1 \approx 5.6$ см
$\angle A_1 \approx 74^\circ$

Проверим пропорциональность сторон:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{6.0}{4.0} = 1.5$
$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{5.6}{3.7} \approx 1.51$

Отношения сторон приблизительно равны (погрешность возникает из-за неточности измерений), и углы между этими сторонами равны ($\angle A = \angle A_1$). Следовательно, треугольники подобны по второму признаку.

Ответ: Измерив по две соответственные стороны и угол между ними в каждом треугольнике, мы установили, что углы равны ($\angle A = \angle A_1$), а отношения длин сторон равны ($\frac{A_1B_1}{AB} \approx \frac{A_1C_1}{AC}$), что подтверждает подобие треугольников по второму признаку.

3) по третьему признаку

Третий признак подобия гласит: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

С помощью линейки измерим все три стороны каждого треугольника.
Измерения для $\triangle ABC$:
$AB \approx 4.0$ см
$BC \approx 4.4$ см
$AC \approx 3.7$ см
Измерения для $\triangle A_1B_1C_1$:
$A_1B_1 \approx 6.0$ см
$B_1C_1 \approx 6.7$ см
$A_1C_1 \approx 5.6$ см

Проверим пропорциональность всех трех пар соответственных сторон:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{6.0}{4.0} = 1.5$
$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{6.7}{4.4} \approx 1.52$
$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{5.6}{3.7} \approx 1.51$

Все три отношения приблизительно равны одному и тому же числу (коэффициенту подобия $k \approx 1.5$). Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.

Ответ: Измерив все три стороны каждого треугольника и вычислив отношения длин соответственных сторон, мы убедились, что они равны ($\frac{A_1B_1}{AB} \approx \frac{B_1C_1}{BC} \approx \frac{A_1C_1}{AC}$), что доказывает подобие треугольников по третьему признаку.