Страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Обоснуйте и докажите свойства биссектрис треугольника.

2. Из скольких этапов состоят задачи на построение? Раскройте цель и содержание этих уровней.

1. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит этот угол пополам. У биссектрис треугольника есть два основных свойства.

Свойство 1 (Теорема о биссектрисе). Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Формулировка теоремы: В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$, обозначенная как $AL$, делит сторону $BC$ на отрезки $BL$ и $LC$ так, что выполняется соотношение: $\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC}$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AL$ — биссектриса угла $A$.

1. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AL$, до её пересечения с продолжением стороны $AB$ в точке $K$.

2. Так как $CK \parallel AL$, то по свойству параллельных прямых и секущих мы имеем:

• $\angle LAC = \angle ACK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AL$ и $CK$ и секущей $AC$).

• $\angle BAL = \angle AKC$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AL$ и $CK$ и секущей $BK$).

3. Поскольку $AL$ — биссектриса, то $\angle BAL = \angle LAC$. Из этого и равенств из пункта 2 следует, что $\angle ACK = \angle AKC$.

4. Если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, треугольник $AKC$ является равнобедренным, и $AC = AK$.

5. Теперь рассмотрим угол $BKC$ и параллельные прямые $AL$ и $CK$, которые пересекают его стороны. По обобщенной теореме Фалеса (или по теореме о пропорциональных отрезках), прямая $AL$ делит стороны $BC$ и $BK$ пропорционально: $\frac{BL}{LC} = \frac{BA}{AK}$.

6. Заменив в этой пропорции $AK$ на равную ей сторону $AC$ (из пункта 4), получаем требуемое равенство: $\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC}$.

Теорема доказана.

Свойство 2 (Точка пересечения биссектрис). Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведём биссектрисы углов $A$ и $B$. Они пересекутся в некоторой точке $O$, так как не могут быть параллельными.

2. Основное свойство любой точки, лежащей на биссектрисе угла, заключается в том, что она равноудалена от сторон этого угла.

3. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим перпендикуляры из $O$ на стороны $AB$, $BC$, $AC$ как $OK$, $OM$ и $ON$ соответственно. Тогда $OK = ON$.

4. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Тогда $OK = OM$.

5. Из равенств $OK = ON$ и $OK = OM$ следует, что $ON = OM$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$.

6. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$.

7. Таким образом, все три биссектрисы треугольника ($AO$, $BO$ и $CO$) пересекаются в одной точке $O$.

8. Точка $O$ равноудалена от всех трёх сторон треугольника ($OK = OM = ON$). Это расстояние является радиусом окружности, которая касается всех трёх сторон изнутри. Такая окружность называется вписанной, а точка $O$ — её центром.

Свойство доказано.

Ответ: Биссектрисы треугольника обладают двумя основными свойствами: 1) биссектриса делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон; 2) все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

2. Классическое решение геометрической задачи на построение с помощью циркуля и линейки без делений состоит из четырёх этапов.

Анализ.

Цель: Найти способ построения искомой фигуры, установив логические связи между данными элементами и тем, что нужно построить.

Содержание: На этом этапе предполагается, что задача уже решена. Чертится эскиз искомой фигуры, на котором отмечаются как известные (данные) элементы, так и неизвестные. Затем анализируются свойства этой фигуры, чтобы найти такую последовательность действий, которая позволила бы построить её, используя только данные. Часто анализ сводится к поиску ключевой точки или фигуры (например, треугольника), которую можно построить в первую очередь, а затем достроить все остальное.

Построение.

Цель: Выполнить пошаговый алгоритм построения, найденный на этапе анализа.

Содержание: Это формальное описание последовательности шагов, которые необходимо выполнить для построения фигуры. Каждый шаг представляет собой одно из элементарных построений, выполняемых с помощью циркуля и линейки (например: провести прямую через две точки; построить окружность с данным центром и радиусом; найти точку пересечения двух прямых, прямой и окружности или двух окружностей). Этот этап является практической реализацией плана, разработанного на этапе анализа.

Доказательство.

Цель: Обосновать, что построенная фигура полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Содержание: На этом этапе приводится строгое логическое рассуждение, опирающееся на аксиомы и теоремы геометрии. Цель — доказать, что фигура, полученная в результате выполнения шагов из этапа "Построение", действительно является искомой и обладает всеми требуемыми свойствами. Этот этап подтверждает корректность плана, составленного на этапе анализа.

Исследование.

Цель: Определить, при каких условиях (ограничениях на данные) задача имеет решение, и сколько решений существует.

Содержание: На этом этапе анализируются все шаги построения на предмет их выполнимости при различных исходных данных. Например, выясняется, всегда ли пересекаются две окружности, используемые в построении, или для этого нужны определённые соотношения между их радиусами и расстоянием между центрами. В результате исследования устанавливается, когда задача имеет одно решение, несколько решений или не имеет решений вовсе. Этот этап определяет область применимости найденного алгоритма.

Ответ: Задачи на построение состоят из четырех этапов: анализ (поиск плана решения), построение (выполнение алгоритма), доказательство (обоснование правильности построения) и исследование (определение условий существования и количества решений).

РАБОТА В ГРУППЕ

На примерах треугольника и прямоугольника покажите, что отношение площадей подобных фигур с коэффициентом подобия k равна $k^2$: $F_1 \overset{k}{\sim} F_2 \Rightarrow \frac{S(F_1)}{S(F_2)} = k^2$.

Пример с треугольниками

Рассмотрим два подобных треугольника: $F_1 = \triangle ABC$ и $F_2 = \triangle A'B'C'$. Пусть коэффициент подобия равен $k$.

По определению подобия, соответствующие углы этих треугольников равны, а отношения длин соответствующих сторон равны коэффициенту подобия $k$:

$\angle A = \angle A', \angle B = \angle B', \angle C = \angle C'$

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin\gamma$, где $x$ и $y$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Найдем площадь треугольника $F_1$ (используя стороны $b, c$ и угол $A$):

$S(F_1) = \frac{1}{2}bc \sin A$

Найдем площадь треугольника $F_2$ (используя соответствующие стороны $b', c'$ и угол $A'$):

$S(F_2) = \frac{1}{2}b'c' \sin A'$

Теперь найдем отношение их площадей:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{\frac{1}{2}bc \sin A}{\frac{1}{2}b'c' \sin A'}$

Так как $\angle A = \angle A'$, то и $\sin A = \sin A'$. Сократив дробь, получаем:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{bc}{b'c'} = \frac{b}{b'} \cdot \frac{c}{c'}$

Из соотношения сторон подобных треугольников мы знаем, что $\frac{b}{b'} = k$ и $\frac{c}{c'} = k$. Подставим эти значения в выражение:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = k \cdot k = k^2$

Ответ: Таким образом, на примере треугольников показано, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Пример с прямоугольниками

Рассмотрим два подобных прямоугольника: $F_1$ со сторонами $a$ и $b$, и $F_2$ со сторонами $a'$ и $b'$. Пусть коэффициент подобия равен $k$.

Подобие прямоугольников означает, что отношение их соответствующих сторон равно $k$:

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = k$

Отсюда следует, что $a = k \cdot a'$ и $b = k \cdot b'$.

Площадь прямоугольника $F_1$ равна:

$S(F_1) = a \cdot b$

Площадь прямоугольника $F_2$ равна:

$S(F_2) = a' \cdot b'$

Найдем отношение площадей этих прямоугольников:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{a \cdot b}{a' \cdot b'}$

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $a'$, $b'$ и $k$:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{(k \cdot a') \cdot (k \cdot b')}{a' \cdot b'} = \frac{k^2 a'b'}{a'b'}$

После сокращения получаем:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = k^2$

Ответ: Таким образом, на примере прямоугольников также показано, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.