Вопросы, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Обоснуйте и докажите свойства биссектрис треугольника.

2. Из скольких этапов состоят задачи на построение? Раскройте цель и содержание этих уровней.

1. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит этот угол пополам. У биссектрис треугольника есть два основных свойства.

Свойство 1 (Теорема о биссектрисе). Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Формулировка теоремы: В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$, обозначенная как $AL$, делит сторону $BC$ на отрезки $BL$ и $LC$ так, что выполняется соотношение: $\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC}$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AL$ — биссектриса угла $A$.

1. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AL$, до её пересечения с продолжением стороны $AB$ в точке $K$.

2. Так как $CK \parallel AL$, то по свойству параллельных прямых и секущих мы имеем:

• $\angle LAC = \angle ACK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AL$ и $CK$ и секущей $AC$).

• $\angle BAL = \angle AKC$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AL$ и $CK$ и секущей $BK$).

3. Поскольку $AL$ — биссектриса, то $\angle BAL = \angle LAC$. Из этого и равенств из пункта 2 следует, что $\angle ACK = \angle AKC$.

4. Если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, треугольник $AKC$ является равнобедренным, и $AC = AK$.

5. Теперь рассмотрим угол $BKC$ и параллельные прямые $AL$ и $CK$, которые пересекают его стороны. По обобщенной теореме Фалеса (или по теореме о пропорциональных отрезках), прямая $AL$ делит стороны $BC$ и $BK$ пропорционально: $\frac{BL}{LC} = \frac{BA}{AK}$.

6. Заменив в этой пропорции $AK$ на равную ей сторону $AC$ (из пункта 4), получаем требуемое равенство: $\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC}$.

Теорема доказана.

Свойство 2 (Точка пересечения биссектрис). Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведём биссектрисы углов $A$ и $B$. Они пересекутся в некоторой точке $O$, так как не могут быть параллельными.

2. Основное свойство любой точки, лежащей на биссектрисе угла, заключается в том, что она равноудалена от сторон этого угла.

3. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим перпендикуляры из $O$ на стороны $AB$, $BC$, $AC$ как $OK$, $OM$ и $ON$ соответственно. Тогда $OK = ON$.

4. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Тогда $OK = OM$.

5. Из равенств $OK = ON$ и $OK = OM$ следует, что $ON = OM$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$.

6. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$.

7. Таким образом, все три биссектрисы треугольника ($AO$, $BO$ и $CO$) пересекаются в одной точке $O$.

8. Точка $O$ равноудалена от всех трёх сторон треугольника ($OK = OM = ON$). Это расстояние является радиусом окружности, которая касается всех трёх сторон изнутри. Такая окружность называется вписанной, а точка $O$ — её центром.

Свойство доказано.

Ответ: Биссектрисы треугольника обладают двумя основными свойствами: 1) биссектриса делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон; 2) все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

2. Классическое решение геометрической задачи на построение с помощью циркуля и линейки без делений состоит из четырёх этапов.

Анализ.

Цель: Найти способ построения искомой фигуры, установив логические связи между данными элементами и тем, что нужно построить.

Содержание: На этом этапе предполагается, что задача уже решена. Чертится эскиз искомой фигуры, на котором отмечаются как известные (данные) элементы, так и неизвестные. Затем анализируются свойства этой фигуры, чтобы найти такую последовательность действий, которая позволила бы построить её, используя только данные. Часто анализ сводится к поиску ключевой точки или фигуры (например, треугольника), которую можно построить в первую очередь, а затем достроить все остальное.

Построение.

Цель: Выполнить пошаговый алгоритм построения, найденный на этапе анализа.

Содержание: Это формальное описание последовательности шагов, которые необходимо выполнить для построения фигуры. Каждый шаг представляет собой одно из элементарных построений, выполняемых с помощью циркуля и линейки (например: провести прямую через две точки; построить окружность с данным центром и радиусом; найти точку пересечения двух прямых, прямой и окружности или двух окружностей). Этот этап является практической реализацией плана, разработанного на этапе анализа.

Доказательство.

Цель: Обосновать, что построенная фигура полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Содержание: На этом этапе приводится строгое логическое рассуждение, опирающееся на аксиомы и теоремы геометрии. Цель — доказать, что фигура, полученная в результате выполнения шагов из этапа "Построение", действительно является искомой и обладает всеми требуемыми свойствами. Этот этап подтверждает корректность плана, составленного на этапе анализа.

Исследование.

Цель: Определить, при каких условиях (ограничениях на данные) задача имеет решение, и сколько решений существует.

Содержание: На этом этапе анализируются все шаги построения на предмет их выполнимости при различных исходных данных. Например, выясняется, всегда ли пересекаются две окружности, используемые в построении, или для этого нужны определённые соотношения между их радиусами и расстоянием между центрами. В результате исследования устанавливается, когда задача имеет одно решение, несколько решений или не имеет решений вовсе. Этот этап определяет область применимости найденного алгоритма.

Ответ: Задачи на построение состоят из четырех этапов: анализ (поиск плана решения), построение (выполнение алгоритма), доказательство (обоснование правильности построения) и исследование (определение условий существования и количества решений).