Номер 2.117, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.117. Как определить ширину реки, используя подобие треугольников?

Чтобы определить ширину реки, используя подобие треугольников, необходимо выполнить последовательность действий, позволяющих создать на местности два подобных треугольника. Один из них будет включать в себя искомую ширину, а второй будет полностью доступен для измерений.

Алгоритм действий:
1. Выберите на противоположном берегу четкий, неподвижный ориентир (например, дерево или камень). Обозначим его как точку A.
2. На своем берегу найдите точку B, расположенную строго напротив точки A. Длина отрезка AB и будет являться искомой шириной реки w. Прямая AB по построению перпендикулярна линии берега.
3. От точки B пройдите вдоль берега на некоторое расстояние и установите метку (колышек) в точке C. Измерьте рулеткой или шагами расстояние BC.
4. Продолжайте движение в том же направлении от точки C до точки D и установите еще одну метку. Измерьте расстояние CD.
5. Из точки D начните движение перпендикулярно линии берега BD (вглубь суши). Двигайтесь до тех пор, пока не окажетесь в точке E, из которой метка C и ориентир A окажутся на одной линии визирования.
6. Измерьте полученное расстояние DE.

Схематически выполненные построения выглядят следующим образом:

В результате построений мы получили два треугольника: $ΔABC$ и $ΔEDC$. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
1. $∠ABC = ∠EDC = 90°$ (по построению, так как движение шло перпендикулярно берегу).
2. $∠ACB = ∠ECD$ (как вертикальные углы).

Из подобия треугольников ($ΔABC \sim ΔEDC$) следует, что отношение их соответственных сторон равно:$$ \frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC} $$

Искомая ширина реки – это длина стороны AB. Выразим ее из данной пропорции:$$ AB = \frac{BC \cdot ED}{DC} $$

Так как все расстояния в правой части формулы (BC, CD и ED) были измерены на местности, мы можем легко вычислить ширину реки AB.

Ответ: Для определения ширины реки AB ($w$) необходимо на своем берегу построить два подобных прямоугольных треугольника $ΔABC$ и $ΔEDC$. Для этого выбирают точку B напротив ориентира A, затем откладывают вдоль берега отрезки BC и CD. После этого в точке D отходят перпендикулярно берегу до точки E так, чтобы точки A, C, E оказались на одной прямой. Измерив расстояния BC, CD и ED, ширину реки находят по формуле, следующей из подобия треугольников: $w = AB = \frac{BC \cdot ED}{DC}$.