Номер 2.120, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.120. Постройте треугольник по двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла.

Для построения треугольника по двум заданным углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

Построение

1. Провести произвольную прямую $m$. На этой прямой будет лежать сторона $AB$ искомого треугольника.
2. Построить прямую $n$, параллельную прямой $m$, на расстоянии $h_c$ (заданная высота) от нее. Для этого нужно:
   1. Выбрать на прямой $m$ произвольную точку $P$.
   2. Провести через точку $P$ прямую, перпендикулярную $m$.
   3. На этом перпендикуляре отложить от точки $P$ отрезок $PQ$, равный по длине высоте $h_c$.
   4. Через точку $Q$ провести прямую $n$, параллельную $m$.
3. На прямой $n$ выбрать произвольную точку $C$. Это будет вершина треугольника, из которой опущена заданная высота.
4. Построить сторону $AC$. Для этого нужно провести через точку $C$ прямую так, чтобы она пересекла прямую $m$ под углом $\alpha$ (первый заданный угол). Это можно сделать, построив в любой точке прямой $m$ вспомогательный луч, образующий с $m$ угол $\alpha$, а затем провести через $C$ прямую, параллельную этому лучу. Точка пересечения построенной прямой с прямой $m$ и будет вершиной $A$.
5. Построить сторону $BC$. Аналогично предыдущему шагу, провести через точку $C$ прямую так, чтобы она пересекла прямую $m$ под углом $\beta$ (второй заданный угол). Углы $\alpha$ и $\beta$ должны откладываться таким образом, чтобы стороны треугольника сходились в одной точке $C$. Точка пересечения этой прямой с прямой $m$ будет вершиной $B$.
6. Треугольник $ABC$ построен.

Обоснование

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, по построению равна расстоянию между параллельными прямыми $m$ и $n$, то есть $h_c$. Углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно, так как стороны $AC$ и $BC$ были построены как прямые, пересекающие прямую $m$ (содержащую сторону $AB$) под заданными углами.

Ниже приведена иллюстрация, показывающая основные элементы построения и итоговый треугольник $ABC$.

Ответ: Искомый треугольник может быть построен согласно приведенному алгоритму. Построение возможно, если сумма заданных углов меньше 180°, и оба угла положительны, то есть $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$.