Работа в группе, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

РАБОТА В ГРУППЕ

На примерах треугольника и прямоугольника покажите, что отношение площадей подобных фигур с коэффициентом подобия k равна $k^2$: $F_1 \overset{k}{\sim} F_2 \Rightarrow \frac{S(F_1)}{S(F_2)} = k^2$.

Пример с треугольниками

Рассмотрим два подобных треугольника: $F_1 = \triangle ABC$ и $F_2 = \triangle A'B'C'$. Пусть коэффициент подобия равен $k$.

По определению подобия, соответствующие углы этих треугольников равны, а отношения длин соответствующих сторон равны коэффициенту подобия $k$:

$\angle A = \angle A', \angle B = \angle B', \angle C = \angle C'$

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin\gamma$, где $x$ и $y$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Найдем площадь треугольника $F_1$ (используя стороны $b, c$ и угол $A$):

$S(F_1) = \frac{1}{2}bc \sin A$

Найдем площадь треугольника $F_2$ (используя соответствующие стороны $b', c'$ и угол $A'$):

$S(F_2) = \frac{1}{2}b'c' \sin A'$

Теперь найдем отношение их площадей:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{\frac{1}{2}bc \sin A}{\frac{1}{2}b'c' \sin A'}$

Так как $\angle A = \angle A'$, то и $\sin A = \sin A'$. Сократив дробь, получаем:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{bc}{b'c'} = \frac{b}{b'} \cdot \frac{c}{c'}$

Из соотношения сторон подобных треугольников мы знаем, что $\frac{b}{b'} = k$ и $\frac{c}{c'} = k$. Подставим эти значения в выражение:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = k \cdot k = k^2$

Ответ: Таким образом, на примере треугольников показано, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Пример с прямоугольниками

Рассмотрим два подобных прямоугольника: $F_1$ со сторонами $a$ и $b$, и $F_2$ со сторонами $a'$ и $b'$. Пусть коэффициент подобия равен $k$.

Подобие прямоугольников означает, что отношение их соответствующих сторон равно $k$:

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = k$

Отсюда следует, что $a = k \cdot a'$ и $b = k \cdot b'$.

Площадь прямоугольника $F_1$ равна:

$S(F_1) = a \cdot b$

Площадь прямоугольника $F_2$ равна:

$S(F_2) = a' \cdot b'$

Найдем отношение площадей этих прямоугольников:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{a \cdot b}{a' \cdot b'}$

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $a'$, $b'$ и $k$:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = \frac{(k \cdot a') \cdot (k \cdot b')}{a' \cdot b'} = \frac{k^2 a'b'}{a'b'}$

После сокращения получаем:

$\frac{S(F_1)}{S(F_2)} = k^2$

Ответ: Таким образом, на примере прямоугольников также показано, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.