Номер 2.125, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.125. Стороны треугольника 51 см, 85 см и 104 см. Центр окружности, касающейся двух меньших сторон треугольника, лежит на его большей стороне. На какие части делит этот центр большую сторону треугольника?

Пусть дан треугольник, вершины которого обозначим $A$, $B$ и $C$. Стороны треугольника равны 51 см, 85 см и 104 см. Две меньшие стороны — 51 см и 85 см, а большая — 104 см. Пусть угол $C$ будет углом между двумя меньшими сторонами. Тогда длины сторон будут: $BC = 51$ см, $AC = 85$ см и $AB = 104$ см.

По условию, центр окружности, обозначим его $O$, лежит на большей стороне $AB$. Эта же окружность касается двух меньших сторон, $AC$ и $BC$.

Согласно основному свойству, центр окружности, которая касается двух сторон угла, всегда находится на биссектрисе этого угла. В нашем случае окружность касается сторон $AC$ и $BC$, образующих угол $C$. Таким образом, центр $O$ должен лежать на биссектрисе угла $C$.

Так как точка $O$ одновременно принадлежит и стороне $AB$, и биссектрисе угла $C$, то отрезок $CO$ является биссектрисой угла $C$ в треугольнике $ABC$.

Применим теорему о биссектрисе угла треугольника. Она утверждает, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, которые пропорциональны двум другим (прилежащим) сторонам. Для биссектрисы $CO$ это свойство записывается в виде отношения: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC} $$

Подставим в это соотношение известные длины сторон: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{85}{51} $$

Теперь упростим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 17: $85 = 5 \times 17$, а $51 = 3 \times 17$. $$ \frac{AO}{BO} = \frac{5 \times 17}{3 \times 17} = \frac{5}{3} $$

Это означает, что точка $O$ делит сторону $AB$ в отношении $5:3$. Мы также знаем, что общая длина стороны $AB$ составляет 104 см: $$ AO + BO = 104 $$

Пусть длина отрезка $AO$ будет $x$, а длина $BO$ — $y$. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 104 \\ \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$: $x = \frac{5}{3}y$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \frac{5}{3}y + y = 104 $$ $$ \frac{5y + 3y}{3} = 104 $$ $$ \frac{8}{3}y = 104 $$ Теперь решим относительно $y$: $$ y = 104 \cdot \frac{3}{8} = 13 \cdot 3 = 39 \text{ см} $$ Зная $y$, найдем $x$: $$ x = 104 - y = 104 - 39 = 65 \text{ см} $$

Следовательно, центр окружности $O$ делит большую сторону $AB$ на два отрезка длиной 65 см и 39 см.

Ответ: 65 см и 39 см.