Номер 2.131, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.131. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит высоту треугольника в отношении $12:5$, боковая сторона равна 60 см. Найдите основание.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 60$ см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что $H$ – середина $AC$ ($AH = HC$) и $BH$ – биссектриса угла $\angle B$.

Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BH$ – биссектриса, точка $O$ лежит на отрезке $BH$. Расстояние от центра вписанной окружности до основания $AC$ равно радиусу $r$ этой окружности, так как $BH \perp AC$. Следовательно, $OH = r$.

По условию задачи, центр $O$ делит высоту $BH$ в отношении $12:5$, считая от вершины $B$. Таким образом, мы имеем соотношение: $ \frac{BO}{OH} = \frac{12}{5} $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($ \angle AHB = 90^\circ $). Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle A$ треугольника $ABC$, так как $O$ – центр вписанной окружности. Следовательно, $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAH$ в треугольнике $ABH$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применим это свойство к треугольнику $ABH$ и биссектрисе $AO$: $ \frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} $

Теперь мы можем подставить известные значения в это равенство, где $AB = 60$ см: $ \frac{12}{5} = \frac{60}{AH} $

Найдем длину отрезка $AH$ из этой пропорции: $ 12 \cdot AH = 5 \cdot 60 $ $ 12 \cdot AH = 300 $ $ AH = \frac{300}{12} = 25 $ см.

Поскольку высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является и медианой, точка $H$ делит основание $AC$ пополам. Следовательно, длина основания равна: $ AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 25 = 50 $ см.

Ответ: 50 см.