Номер 2.126, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.126. Отрезки $AB=15$ м, $AC=21$ м и $BC=24$ м являются хордами окружности. Точка $D$ – середина дуги $CB$. На какие части прямая $AD$ делит хорду $BC$?

Пусть точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности. Отрезки $AB=15$ м, $AC=21$ м и $BC=24$ м являются хордами этой окружности, образуя вписанный треугольник $ABC$. Точка $D$ является серединой дуги $CB$, не содержащей точку $A$. Прямая $AD$ пересекает хорду $BC$ в некоторой точке, назовем ее $E$. Требуется найти длины отрезков $BE$ и $EC$.

По условию, точка $D$ — середина дуги $CB$. Это означает, что дуга $CD$ равна дуге $DB$.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Угол $\angle{CAD}$ — вписанный и опирается на дугу $CD$. Угол $\angle{DAB}$ — вписанный и опирается на дугу $DB$.

Поскольку дуга $CD$ = дуга $DB$, то и соответствующие вписанные углы равны: $\angle{CAD} = \angle{DAB}$.

Это означает, что луч $AD$ является биссектрисой угла $\angle{CAB}$ в треугольнике $ABC$. Точка $E$ — это точка пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения длин сторон $AB=15$ м и $AC=21$ м:

$\frac{BE}{EC} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$

Из этого соотношения можно выразить $BE$ через $EC$:

$BE = \frac{5}{7}EC$

Также мы знаем, что сумма длин отрезков $BE$ и $EC$ равна длине хорды $BC$:

$BE + EC = BC = 24$ м

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $BE$ из первого уравнения во второе:

$\frac{5}{7}EC + EC = 24$

$(\frac{5}{7} + 1)EC = 24$

$(\frac{5}{7} + \frac{7}{7})EC = 24$

$\frac{12}{7}EC = 24$

Найдем $EC$:

$EC = 24 \cdot \frac{7}{12} = 2 \cdot 7 = 14$ м

Теперь найдем $BE$:

$BE = 24 - EC = 24 - 14 = 10$ м

Таким образом, прямая $AD$ делит хорду $BC$ на отрезки длиной 10 м и 14 м.

Ответ: прямая $AD$ делит хорду $BC$ на части длиной 10 м и 14 м.