Номер 2.121, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.121. Постройте треугольник $ABC$ по углу $A$ и медиане $AH$, если $AB : AC = 2 : 3$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны угол $A$, медиана $AH = m_a$, и отношение сторон $AB : AC = 2 : 3$. Обозначим $AB = c$ и $AC = b$. Тогда $c/b = 2/3$.

Поскольку в задаче дано отношение сторон, а не их абсолютные значения, удобно использовать метод подобия. Построим сначала вспомогательный треугольник $A'B'C'$, подобный искомому.

Пусть $A'B' = 2x$ и $A'C' = 3x$, где $x$ — некоторый произвольный отрезок, и $\angle A' = \angle A$. Треугольник $A'B'C'$ можно построить по двум сторонам и углу между ними. Этот треугольник будет подобен искомому треугольнику $ABC$.

В подобных треугольниках отношение соответственных элементов равно коэффициенту подобия $k$. Проведем в треугольнике $A'B'C'$ медиану $A'H'$. Тогда отношение медиан будет таким же, как и отношение сторон: $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{AH}{A'H'}$

Мы знаем длину медианы $AH = m_a$ и можем построить и измерить медиану $A'H'$ во вспомогательном треугольнике. Таким образом, мы можем найти коэффициент подобия $k = \frac{m_a}{A'H'}$.

Зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон искомого треугольника: $AB = k \cdot A'B'$ и $AC = k \cdot A'C'$. После этого искомый треугольник $ABC$ можно построить по двум сторонам ($AB$ и $AC$) и углу между ними ($\angle A$).

Таким образом, задача сводится к последовательности построений: 1) построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$; 2) нахождение его медианы $A'H'$; 3) определение длин сторон $AB$ и $AC$ с помощью построения четвертого пропорционального отрезка; 4) построение искомого треугольника $ABC$.

Ответ: План построения основан на методе подобия, где сначала строится вспомогательный треугольник, а затем, с использованием отношения его медианы к данной медиане, определяются размеры искомого треугольника.

Построение

1) Выберем произвольный отрезок $x$.

2) Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$:
а) Построим угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $A'$.
б) На одной стороне угла отложим отрезок $A'B' = 2x$.
в) На другой стороне угла отложим отрезок $A'C' = 3x$.
г) Соединим точки $B'$ и $C'$. Треугольник $A'B'C'$ построен.

3) Построим медиану $A'H'$ треугольника $A'B'C'$:
а) Найдем середину $H'$ отрезка $B'C'$ (с помощью циркуля и линейки).
б) Соединим точки $A'$ и $H'$.

4) Найдем длины сторон $AB$ и $AC$ искомого треугольника. Для этого используем построение четвертого пропорционального отрезка (основанное на теореме Фалеса).
а) Чтобы найти длину $AB$, строим отрезок, для которого выполняется пропорция $AB/A'B' = m_a/A'H'$, то есть $AB = (A'B' \cdot m_a) / A'H'$.
б) Аналогично, чтобы найти длину $AC$, строим отрезок, для которого $AC/A'C' = m_a/A'H'$, то есть $AC = (A'C' \cdot m_a) / A'H'$.

5) Построим искомый треугольник $ABC$:
а) Построим угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $A$.
б) На одной стороне угла отложим отрезок $AB$, полученный в п. 4а.
в) На другой стороне угла отложим отрезок $AC$, полученный в п. 4б.
г) Соединим точки $B$ и $C$.

6) Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник построен в соответствии с описанными шагами.

Доказательство

Построенный по пункту 5 треугольник $ABC$ по построению имеет угол $A$, равный данному. Необходимо доказать, что его медиана из вершины $A$ равна $m_a$ и что $AB:AC = 2:3$.

Рассмотрим отношение сторон $AB$ и $AC$. Из построения в п. 4 мы имеем:
$AB = \frac{A'B' \cdot m_a}{A'H'}$ и $AC = \frac{A'C' \cdot m_a}{A'H'}$.

Найдем их отношение:
$\frac{AB}{AC} = \frac{(A'B' \cdot m_a) / A'H'}{(A'C' \cdot m_a) / A'H'} = \frac{A'B'}{A'C'}$.

По построению вспомогательного треугольника $A'B'C'$ (п. 2), мы задали $A'B'=2x$ и $A'C'=3x$. Следовательно, $\frac{A'B'}{A'C'} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, $\frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$, что соответствует условию задачи.

Теперь докажем, что медиана $AH$ равна $m_a$. Из пропорций в п. 4 следует, что $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{m_a}{A'H'}$. Обозначим этот коэффициент $k = \frac{m_a}{A'H'}$. Так как $\angle A = \angle A'$, а прилежащие стороны пропорциональны ($AB/A'B' = AC/A'C'$), то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны по второму признаку подобия с коэффициентом $k$.

В подобных треугольниках отношение соответственных медиан равно коэффициенту подобия. Пусть $AH$ — медиана в $\triangle ABC$. Тогда:
$\frac{AH}{A'H'} = k$.

Подставляя значение $k$, получаем:
$\frac{AH}{A'H'} = \frac{m_a}{A'H'}$.

Отсюда следует, что $AH = m_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение корректно, так как результирующий треугольник имеет заданные угол, отношение сторон и длину медианы.

Исследование

Задача имеет решение тогда, когда все шаги построения выполнимы.

1) Построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$ всегда возможно, если заданный угол $A$ удовлетворяет условию $0 < \angle A < 180^\circ$.

2) Построение медианы $A'H'$ всегда возможно, и ее длина $A'H'$ будет строго положительной, так как $A', B', C'$ не лежат на одной прямой.

3) Построение четвертого пропорционального отрезка для нахождения $AB$ и $AC$ всегда возможно, так как все используемые длины ($m_a$, $A'H'$, $A'B'$, $A'C'$) — положительные величины.

4) Финальное построение треугольника $ABC$ по двум сторонам и углу между ними всегда возможно.

Выбор произвольного отрезка $x$ не влияет на форму искомого треугольника, а только на масштаб вспомогательного. Все вспомогательные треугольники, построенные по шагам 1-2, будут подобны друг другу, и отношение $m_a/A'H'$ останется неизменным. Таким образом, итоговый результат не зависит от выбора $x$. Все шаги построения приводят к единственному результату.

Следовательно, задача всегда имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если задан угол $A$ ($0^\circ < A < 180^\circ$) и положительная длина медианы $m_a > 0$.

Ответ: Задача имеет единственное решение при $0^\circ < \angle A < 180^\circ$ и $m_a > 0$.