Номер 2.122, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.122. Покажите, что биссектриса между сторонами треугольника меньше 12 см, если эти стороны равны 10 см и 15 см.

Пусть стороны треугольника равны $b = 15$ см и $c = 10$ см. Обозначим биссектрису угла $A$, заключенного между этими сторонами, как $l_a$. Длину этой биссектрисы можно вычислить по формуле, которая связывает ее с длинами прилежащих сторон и косинусом половины угла между ними:

$l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos\left(\frac{A}{2}\right)$

Подставим в эту формулу известные значения длин сторон $b$ и $c$:

$l_a = \frac{2 \cdot 15 \cdot 10}{15 + 10} \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{300}{25} \cos\left(\frac{A}{2}\right) = 12 \cos\left(\frac{A}{2}\right)$

Поскольку $A$ является углом невырожденного треугольника, его величина строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$. Таким образом, $0^\circ < A < 180^\circ$.

Отсюда следует, что половина этого угла, $\frac{A}{2}$, находится в пределах $0^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$.

Для любого угла $\alpha$ из интервала $(0^\circ, 90^\circ)$ его косинус строго меньше единицы: $\cos(\alpha) < 1$.

Следовательно, $\cos\left(\frac{A}{2}\right) < 1$.

Теперь вернемся к выражению для длины биссектрисы: $l_a = 12 \cos\left(\frac{A}{2}\right)$.

Учитывая, что $\cos\left(\frac{A}{2}\right) < 1$ и $l_a > 0$, мы можем утверждать, что:

$l_a < 12 \cdot 1$

$l_a < 12$ см.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса, проведенная между сторонами 10 см и 15 см, всегда будет меньше 12 см.

Ответ: Утверждение доказано. Длина биссектрисы меньше 12 см.