Номер 2.127, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.127. Проведите к окружностям с разными радиусами общие касательные, когда:

1) окружности не пересекаются;

2) окружности касаются внешним образом;

3) окружности пересекаются в двух точках.

Рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и различными радиусами $R$ и $r$ соответственно. Пусть расстояние между центрами равно $d$. Общая касательная к двум окружностям — это прямая, которая касается обеих окружностей.

1) окружности не пересекаются;

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов, то есть $d > R + r$. В такой конфигурации можно провести четыре общие касательные: две внешние и две внутренние.
Внешние касательные (на рисунке показаны синим цветом) не пересекают отрезок, соединяющий центры окружностей ($O_1O_2$).
Внутренние касательные (на рисунке показаны красным цветом) пересекают отрезок $O_1O_2$ в точке, лежащей между центрами $O_1$ и $O_2$.

Ответ: В случае, когда окружности не пересекаются и лежат одна вне другой, можно провести четыре общие касательные (две внешние и две внутренние).

2) окружности касаются внешним образом;

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть $d = R + r$. В такой конфигурации можно провести три общие касательные.
Две из них являются внешними (на рисунке показаны синим цветом).
Третья касательная является внутренней (на рисунке показана красным цветом), она проходит через точку касания окружностей и перпендикулярна линии, соединяющей их центры.

Ответ: В случае, когда окружности касаются внешним образом, можно провести три общие касательные (две внешние и одна внутренняя).

3) окружности пересекаются в двух точках.

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов, но больше модуля их разности, то есть $|R - r| < d < R + r$. В такой конфигурации можно провести только две общие касательные, и обе они будут внешними.
Внутренние касательные провести невозможно, так как любая прямая, пересекающая отрезок $O_1O_2$, будет пересекать и сами окружности, а не касаться их.

Ответ: В случае, когда окружности пересекаются в двух точках, можно провести две общие касательные (обе внешние).