Номер 2.132, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.132. В прямоугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Найдите отношение $AB:AD$, если треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны.

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = x$ и $AD = y$. Требуется найти отношение $\frac{AB}{AD} = \frac{x}{y}$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, то есть $BC = AD = y$. Угол $\angle B = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AB = x$ и $BC = y$.

Точка $E$ является серединой стороны $AD$, поэтому $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{y}{2}$.
Точка $F$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BF = \frac{1}{2}BC = \frac{y}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AEF$. Для определения его свойств введем систему координат с началом в точке $D$. Пусть $D=(0,0)$, $A=(0,y)$, $C=(x,0)$ и $B=(x,y)$.Тогда координаты точек $E$ и $F$ будут:

• $E$ — середина $AD$: $E = (\frac{0+0}{2}, \frac{y+0}{2}) = (0, \frac{y}{2})$
• $F$ — середина $BC$: $F = (\frac{x+x}{2}, \frac{y+0}{2}) = (x, \frac{y}{2})$

Ой, координаты $A, B, C, D$ заданы не по порядку. Исправим. Пусть $A=(0,y)$, $B=(x,y)$, $C=(x,0)$, $D=(0,0)$. Тогда:

• $E$ — середина $AD$: $E = (\frac{0+0}{2}, \frac{y+0}{2}) = (0, \frac{y}{2})$
• $F$ — середина $BC$: $F = (\frac{x+x}{2}, \frac{y+0}{2}) = (x, \frac{y}{2})$

Вершины треугольника $AEF$: $A(0,y)$, $E(0, \frac{y}{2})$, $F(x, \frac{y}{2})$.Найдем длины его сторон.

• $AE = \sqrt{(0-0)^2 + (y-\frac{y}{2})^2} = \sqrt{(\frac{y}{2})^2} = \frac{y}{2}$
• $EF = \sqrt{(x-0)^2 + (\frac{y}{2}-\frac{y}{2})^2} = \sqrt{x^2} = x$

Проверим, является ли треугольник $AEF$ прямоугольным. Найдем векторы, выходящие из вершины $E$:
$\vec{EA} = (0-0, y-\frac{y}{2}) = (0, \frac{y}{2})$
$\vec{EF} = (x-0, \frac{y}{2}-\frac{y}{2}) = (x, 0)$
Их скалярное произведение: $\vec{EA} \cdot \vec{EF} = 0 \cdot x + \frac{y}{2} \cdot 0 = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $\angle AEF = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $AEF$ — прямоугольный с катетами $AE = \frac{y}{2}$ и $EF = x$.

По условию задачи треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны. Поскольку оба треугольника прямоугольные, их катеты должны быть пропорциональны. Существует две возможные пары отношений для катетов:

1) $\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{EF}$
Подставляем длины сторон: $\frac{x}{y/2} = \frac{y}{x}$.
Упрощаем: $\frac{2x}{y} = \frac{y}{x}$, что приводит к уравнению $2x^2 = y^2$.
Отсюда находим отношение: $\frac{x^2}{y^2} = \frac{1}{2}$, и так как длины сторон положительны, $\frac{x}{y} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

2) $\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{AE}$
Подставляем длины сторон: $\frac{x}{x} = \frac{y}{y/2}$.
Упрощаем: $1 = 2$. Это неверное равенство, значит, данный случай невозможен.

Следовательно, единственно верным является первый случай. Искомое отношение $\frac{AB}{AD} = \frac{x}{y} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$.