Номер 3.1, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.1. Стороны треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите косинусы его углов.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a = 3$ м, $b = 4$ м и $c = 5$ м. Углы, лежащие напротив этих сторон, обозначим соответственно как $α$, $β$ и $γ$.

Нарисуем схему треугольника. Заметим, что стороны удовлетворяют теореме Пифагора ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$), а значит, треугольник является прямоугольным. Угол $γ$, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $c=5$, является прямым углом.

Теорема косинусов для произвольного треугольника связывает длины его сторон с косинусом одного из его углов. Формула для нахождения косинуса угла $α$ выглядит так:

$\cos(α) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Аналогичные формулы можно записать для углов $β$ и $γ$.

Найдем косинус угла $α$, противолежащего стороне $a = 3$

Подставляем известные значения длин сторон в формулу:

$\cos(α) = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

Найдем косинус угла $β$, противолежащего стороне $b = 4$

Используем соответствующую формулу теоремы косинусов:

$\cos(β) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставляем значения:

$\cos(β) = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Найдем косинус угла $γ$, противолежащего стороне $c = 5$

Используем формулу для угла $γ$:

$\cos(γ) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставляем значения:

$\cos(γ) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 25}{24} = \frac{0}{24} = 0$

Результат $\cos(γ) = 0$ подтверждает, что угол $γ$ равен $90°$, и треугольник является прямоугольным.

Ответ: косинусы углов треугольника, лежащих напротив сторон 3 м, 4 м и 5 м, равны соответственно $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$ и $0$.