Номер 3.5, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.5. Сторона треугольника равна $5\sqrt{3}$ м, а прилежащие к ней углы $45^{\circ}$ и $75^{\circ}$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов. Пусть нам дан треугольник, у которого сторона $c = 5\sqrt{3}$ м, а прилежащие к ней углы $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.

1. Найдем третий угол треугольника, $\gamma$, который находится напротив известной нам стороны $c$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Расширенная теорема синусов устанавливает соотношение между стороной треугольника, синусом противолежащего ей угла и радиусом $R$ описанной окружности:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

3. Используем часть теоремы, связывающую известную нам сторону $c$, противолежащий ей угол $\gamma$ и радиус описанной окружности $R$:
$\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

4. Подставим в формулу известные значения. Мы знаем, что $c = 5\sqrt{3}$ м и $\gamma = 60^\circ$. Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$2R = \frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

5. Упростим полученное выражение, чтобы найти диаметр $2R$:
$2R = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 2 = 10$ м.

6. Теперь найдем радиус $R$, разделив диаметр на 2:
$R = \frac{10}{2} = 5$ м.

Ответ: 5 м.