Номер 3.11, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. Найдите неизвестные элементы треугольника ABC, если:

1) $a=3, c=2, \angle B=60^\circ;$

2) $b=3, c=4, \angle A=135^\circ;$

3) $a=2,4, b=1,3, \angle C=30^\circ;$

4) $a=0,15, b=0,62, \angle B=150^\circ;$

5) $a=4, b=5, c=6;$

6) $a=12, b=5, c=13;$

7) $a=24,6, \angle B=45^\circ, \angle C=70^\circ;$

8) $a=16, b=10, \angle A=80^\circ;$

9) $c=14, \angle A=60^\circ, \angle B=40^\circ;$

10) $b=4,5, \angle A=30^\circ, \angle C=75^\circ.$

1) Дано: $a=3$, $c=2$, $\angle B=60^\circ$.
Неизвестные элементы: $b, \angle A, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).
1. Найдем сторону $b$ по теореме косинусов:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$.
$b = \sqrt{7}$.
2. Найдем угол $\angle A$ по теореме косинусов, чтобы избежать неоднозначности:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(\sqrt{7})^2 + 2^2 - 3^2}{2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2} = \frac{7+4-9}{4\sqrt{7}} = \frac{2}{4\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$.
$\angle A = \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) \approx 79.1^\circ$.
3. Найдем угол $\angle C$ из свойства суммы углов треугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle A \approx 180^\circ - 60^\circ - 79.1^\circ = 40.9^\circ$.
Ответ: $b=\sqrt{7} \approx 2.65$, $\angle A \approx 79.1^\circ$, $\angle C \approx 40.9^\circ$.

2) Дано: $b=3$, $c=4$, $\angle A=135^\circ$.
Неизвестные элементы: $a, \angle B, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).
1. Найдем сторону $a$ по теореме косинусов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 135^\circ = 9 + 16 - 24 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 25 + 12\sqrt{2}$.
$a = \sqrt{25 + 12\sqrt{2}} \approx \sqrt{25 + 12 \cdot 1.414} = \sqrt{41.968} \approx 6.48$.
2. Найдем угол $\angle B$ по теореме синусов. Так как $\angle A$ тупой, то $\angle B$ и $\angle C$ острые, поэтому решение единственное.
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{3 \sin 135^\circ}{\sqrt{25 + 12\sqrt{2}}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{25 + 12\sqrt{2}}} \approx \frac{2.121}{6.48} \approx 0.3273$.
$\angle B = \arcsin(0.3273) \approx 19.1^\circ$.
3. Найдем угол $\angle C$ из свойства суммы углов треугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 135^\circ - 19.1^\circ = 25.9^\circ$.
Ответ: $a = \sqrt{25 + 12\sqrt{2}} \approx 6.48$, $\angle B \approx 19.1^\circ$, $\angle C \approx 25.9^\circ$.

3) Дано: $a=2.4$, $b=1.3$, $\angle C=30^\circ$.
Неизвестные элементы: $c, \angle A, \angle B$.
Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).
1. Найдем сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = (2.4)^2 + (1.3)^2 - 2 \cdot 2.4 \cdot 1.3 \cdot \cos 30^\circ = 5.76 + 1.69 - 6.24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7.45 - 3.12\sqrt{3}$.
$c = \sqrt{7.45 - 3.12\sqrt{3}} \approx \sqrt{7.45 - 5.404} = \sqrt{2.046} \approx 1.43$.
2. Найдем угол $\angle A$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin A = \frac{a \sin C}{c} \approx \frac{2.4 \cdot \sin 30^\circ}{1.43} = \frac{2.4 \cdot 0.5}{1.43} = \frac{1.2}{1.43} \approx 0.839$.
Возможны два угла: $\angle A_1 \approx \arcsin(0.839) \approx 57.0^\circ$ и $\angle A_2 \approx 180^\circ - 57.0^\circ = 123.0^\circ$.
Проверим, какой из них верный. У нас $a=2.4 > c \approx 1.43 > b=1.3$, значит должно быть $\angle A > \angle C > \angle B$.
Если $\angle A \approx 123.0^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 123.0^\circ = 27.0^\circ$. Тогда $\angle A > \angle C > \angle B$ ($123.0^\circ > 30^\circ > 27.0^\circ$), что соответствует порядку сторон. Этот вариант верный.
(Если бы мы взяли $\angle A \approx 57.0^\circ$, то $\angle B \approx 180^\circ - 30^\circ - 57.0^\circ = 93.0^\circ$, что привело бы к $\angle B > \angle A > \angle C$, а это противоречит $bОтвет: $c \approx 1.43$, $\angle A \approx 123.0^\circ$, $\angle B \approx 27.0^\circ$.

4) Дано: $a=0.15$, $b=0.62$, $\angle B=150^\circ$.
Неизвестные элементы: $c, \angle A, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол не между ними" (SSA).
1. Найдем угол $\angle A$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{0.15 \cdot \sin 150^\circ}{0.62} = \frac{0.15 \cdot 0.5}{0.62} = \frac{0.075}{0.62} \approx 0.121$.
Так как $\angle B$ тупой, $\angle A$ может быть только острым. $\angle A = \arcsin(0.121) \approx 7.0^\circ$.
2. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle A \approx 180^\circ - 150^\circ - 7.0^\circ = 23.0^\circ$.
3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:
$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \implies c = \frac{b \sin C}{\sin B} \approx \frac{0.62 \cdot \sin 23.0^\circ}{\sin 150^\circ} = \frac{0.62 \cdot 0.3907}{0.5} \approx 0.485$.
Ответ: $\angle A \approx 7.0^\circ$, $\angle C \approx 23.0^\circ$, $c \approx 0.49$.

5) Дано: $a=4, b=5, c=6$.
Неизвестные элементы: $\angle A, \angle B, \angle C$.
Это случай "три стороны" (SSS). Используем теорему косинусов.
1. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25+36-16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$\angle A = \arccos(0.75) \approx 41.4^\circ$.
2. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16+36-25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625$.
$\angle B = \arccos(0.5625) \approx 55.8^\circ$.
3. $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 41.4^\circ - 55.8^\circ = 82.8^\circ$.
Ответ: $\angle A \approx 41.4^\circ$, $\angle B \approx 55.8^\circ$, $\angle C \approx 82.8^\circ$.

6) Дано: $a=12, b=5, c=13$.
Неизвестные элементы: $\angle A, \angle B, \angle C$.
Это случай "три стороны" (SSS). Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
$a^2 + b^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
$c^2 = 13^2 = 169$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, и $\angle C = 90^\circ$.
1. $\sin A = \frac{a}{c} = \frac{12}{13} \implies \angle A = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) \approx 67.4^\circ$.
2. $\sin B = \frac{b}{c} = \frac{5}{13} \implies \angle B = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.6^\circ$.
Проверка: $67.4^\circ + 22.6^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $\angle A \approx 67.4^\circ$, $\angle B \approx 22.6^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.

7) Дано: $a=24.6, \angle B=45^\circ, \angle C=70^\circ$.
Неизвестные элементы: $\angle A, b, c$.
Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).
1. Найдем угол $\angle A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$.
2. Найдем стороны $b$ и $c$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{24.6 \sin 45^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24.6 \cdot 0.7071}{0.9063} \approx 19.19$.
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{24.6 \sin 70^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24.6 \cdot 0.9397}{0.9063} \approx 25.50$.
Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $b \approx 19.2$, $c \approx 25.5$.

8) Дано: $a=16, b=10, \angle A=80^\circ$.
Неизвестные элементы: $c, \angle B, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол не между ними" (SSA).
1. Найдем угол $\angle B$ по теореме синусов:
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{10 \sin 80^\circ}{16} \approx \frac{10 \cdot 0.9848}{16} \approx 0.6155$.
Так как $b < a$ ($10 < 16$), то $\angle B < \angle A$ ($< 80^\circ$), значит $\angle B$ - острый. Решение единственное.
$\angle B = \arcsin(0.6155) \approx 38.0^\circ$.
2. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 80^\circ - 38.0^\circ = 62.0^\circ$.
3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:
$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} \approx \frac{16 \sin 62.0^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{16 \cdot 0.8829}{0.9848} \approx 14.35$.
Ответ: $\angle B \approx 38.0^\circ$, $\angle C \approx 62.0^\circ$, $c \approx 14.35$.

9) Дано: $c=14, \angle A=60^\circ, \angle B=40^\circ$.
Неизвестные элементы: $\angle C, a, b$.
Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).
1. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.
2. Найдем стороны $a$ и $b$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{14 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 80^\circ} \approx \frac{12.124}{0.9848} \approx 12.3$.
$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{14 \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.6428}{0.9848} \approx 9.1$.
Ответ: $\angle C = 80^\circ$, $a \approx 12.3$, $b \approx 9.1$.

10) Дано: $b=4.5, \angle A=30^\circ, \angle C=75^\circ$.
Неизвестные элементы: $\angle B, a, c$.
Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).
1. Найдем угол $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$.
2. Так как $\angle B = \angle C = 75^\circ$, треугольник равнобедренный, и $c=b=4.5$.
3. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{4.5 \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}$.
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
$a = \frac{4.5 \cdot 0.5}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = \frac{2.25 \cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{9(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{9(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} \approx 2.33$.
Ответ: $\angle B = 75^\circ$, $c=4.5$, $a \approx 2.33$.