Номер 3.15, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.15. В треугольнике $ABC$ углы $A$ и $C$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно, а высота $AD = 3$ м. Найдите стороны треугольника.

Для решения задачи сначала найдем все углы треугольника $ABC$. Нам даны $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Поскольку угол $B$ является тупым ($\angle B > 90^\circ$), высота $AD$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, будет находиться вне треугольника. Точка $D$ (основание высоты) будет лежать на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$, где $AD$ — общий катет.

Теперь мы можем найти стороны треугольника, используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках $ADC$ и $ADB$.

Сторона AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем катет $AD = 3$ м, а противолежащий ему угол $\angle C = 30^\circ$. Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника.
Из определения синуса: $\sin C = \frac{AD}{AC}$.
Выразим $AC$:
$AC = \frac{AD}{\sin C} = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{1/2} = 6$ м.

Ответ: $AC = 6$ м.

Сторона AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
В $\triangle ADB$ известен катет $AD = 3$ м и противолежащий ему угол $\angle ABD = 75^\circ$. Сторона $AB$ является гипотенузой.
Из определения синуса: $\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$.
Выразим $AB$:
$AB = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{3}{\sin 75^\circ}$.
Для вычисления $\sin 75^\circ$ используем формулу синуса суммы:
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Подставим это значение:
$AB = \frac{3}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Ответ: $AB = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Сторона BC

Длину стороны $BC$ можно найти как разность длин отрезков $DC$ и $DB$, то есть $BC = DC - DB$.
1. Найдем $DC$ из прямоугольного $\triangle ADC$:
$\tan C = \frac{AD}{DC} \implies DC = \frac{AD}{\tan C} = \frac{3}{\tan 30^\circ} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ м.
2. Найдем $DB$ из прямоугольного $\triangle ADB$:
$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{DB} \implies DB = \frac{AD}{\tan(\angle ABD)} = \frac{3}{\tan 75^\circ}$.
Вычислим $\tan 75^\circ$:
$\tan 75^\circ = \tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1+1/\sqrt{3}}{1-1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = 2+\sqrt{3}$.
Тогда $DB = \frac{3}{2+\sqrt{3}} = \frac{3(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3}$ м.
3. Вычислим $BC$:
$BC = DC - DB = 3\sqrt{3} - (6 - 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 6 + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 6 = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.

Ответ: $BC = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.