Номер 3.19, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19. Стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$. Докажите, что если:

1) $a^2 + b^2 > c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, острый;

2) $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, прямой;

3) $a^2 + b^2 < c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, тупой.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся теоремой косинусов. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Обозначим угол, противолежащий стороне $c$, как $\gamma$. Согласно теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\gamma$:

$2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2$

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, они представляют собой положительные числа, а значит, знаменатель $2ab$ всегда положителен. Следовательно, знак косинуса угла $\gamma$ определяется знаком числителя $a^2 + b^2 - c^2$. Тип угла $\gamma$ в треугольнике ($0^\circ < \gamma < 180^\circ$) напрямую зависит от знака его косинуса:

• Если $\cos(\gamma) > 0$, то угол $\gamma$ — острый ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$).
• Если $\cos(\gamma) = 0$, то угол $\gamma$ — прямой ($\gamma = 90^\circ$).
• Если $\cos(\gamma) < 0$, то угол $\gamma$ — тупой ($90^\circ < \gamma < 180^\circ$).

Теперь докажем каждое из утверждений.

1) если $a^2 + b^2 > c^2$, то угол, противолежащий стороне c, острый;

Если $a^2 + b^2 > c^2$, то разность $a^2 + b^2 - c^2$ положительна. Подставим это в формулу для косинуса угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Так как числитель $a^2 + b^2 - c^2 > 0$ и знаменатель $2ab > 0$, то значение дроби положительно, то есть $\cos(\gamma) > 0$. Для угла треугольника это означает, что угол $\gamma$ острый. Утверждение доказано.

Ответ: Если $a^2 + b^2 > c^2$, то числитель в формуле $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ положителен, следовательно $\cos(\gamma) > 0$, и угол $\gamma$ является острым.

2) если $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, противолежащий стороне c, прямой;

Если $a^2 + b^2 = c^2$, то разность $a^2 + b^2 - c^2$ равна нулю. Подставим это в формулу для косинуса угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{0}{2ab} = 0$

Значение $\cos(\gamma) = 0$ для угла треугольника соответствует прямому углу, то есть $\gamma = 90^\circ$. Это утверждение является теоремой, обратной теореме Пифагора. Утверждение доказано.

Ответ: Если $a^2 + b^2 = c^2$, то числитель в формуле $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ равен нулю, следовательно $\cos(\gamma) = 0$, и угол $\gamma$ является прямым.

3) если $a^2 + b^2 < c^2$, то угол, противолежащий стороне c, тупой.

Если $a^2 + b^2 < c^2$, то разность $a^2 + b^2 - c^2$ отрицательна. Подставим это в формулу для косинуса угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Так как числитель $a^2 + b^2 - c^2 < 0$ и знаменатель $2ab > 0$, то значение дроби отрицательно, то есть $\cos(\gamma) < 0$. Для угла треугольника это означает, что угол $\gamma$ тупой. Утверждение доказано.

Ответ: Если $a^2 + b^2 < c^2$, то числитель в формуле $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ отрицателен, следовательно $\cos(\gamma) < 0$, и угол $\gamma$ является тупым.