Страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Найдите угол $C$ треугольника ABC, если $BC=a$, $AC=b$, а его площадь равна $S$. Решите эту задачу, если:

1) $a=7, b=8, S=14;$

2) $a=12, b=5\sqrt{3}, S=45.$

Для нахождения угла $C$ треугольника $ABC$ используется формула площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin C$

Из этой формулы можно выразить $\sin C$:

$\sin C = \frac{2S}{ab}$

Зная значение синуса угла, можно найти и сам угол. Следует помнить, что угол в треугольнике находится в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$, и в этом диапазоне одному значению синуса (если оно меньше 1) могут соответствовать два угла: острый $\alpha$ и тупой $180^\circ - \alpha$.

1)

Дано: $a=7$, $b=8$, $S=14$.

Подставим эти значения в формулу:

$\sin C = \frac{2 \cdot 14}{7 \cdot 8} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

Уравнение $\sin C = \frac{1}{2}$ имеет два решения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$:

$C_1 = 30^\circ$

$C_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Оба угла являются допустимыми для треугольника.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.

2)

Дано: $a=12$, $b=5\sqrt{3}$, $S=45$.

Подставим значения в формулу:

$\sin C = \frac{2 \cdot 45}{12 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{90}{60\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$:

$C_1 = 60^\circ$

$C_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Оба угла являются допустимыми для треугольника.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.

3.13. Диагонали параллелограмма равны $d_1$ и $d_2$, а мень-шая сторона равна $a$. Найдите угол между его диагоналями.

Решите задачу при:

1) $d_1 = 10$ см, $d_2 = 12$ см, $a = \sqrt{31}$ см;

2) $d_1 = 4$ м, $d_2 = 2\sqrt{3}$ м, $a = 1$ м.

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма воспользуемся свойством диагоналей и теоремой косинусов. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с диагоналями $AC = d_1$ и $BD = d_2$, которые пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный стороной $AB$ и половинами диагоналей $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \gamma$. По теореме косинусов для этого треугольника: $AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\gamma) = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$.

Для смежной стороны $AD$ и треугольника $AOD$, угол $\angle AOD = 180^\circ - \gamma$. По теореме косинусов: $AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(180^\circ - \gamma) = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$.

Углом между диагоналями принято считать острый угол. Если $\gamma$ — острый угол, то $\cos(\gamma) > 0$. В этом случае, $AB^2 < AD^2$, то есть сторона, лежащая напротив острого угла между диагоналями, является меньшей. По условию, меньшая сторона равна $a$. Значит, мы можем использовать формулу для меньшей стороны, где $\gamma$ — искомый острый угол.

$a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\gamma$:
$\frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma) = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - a^2$
$\cos(\gamma) = \frac{2}{d_1 d_2} \left( \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{4} \right)$
$\cos(\gamma) = \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2d_1d_2}$

Теперь применим эту формулу для решения задачи с конкретными значениями.

1) Дано: $d_1 = 10$ см, $d_2 = 12$ см, $a = \sqrt{31}$ см.
Подставляем значения в формулу:
$\cos(\gamma) = \frac{10^2 + 12^2 - 4 \cdot (\sqrt{31})^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} = \frac{100 + 144 - 4 \cdot 31}{240} = \frac{244 - 124}{240} = \frac{120}{240} = \frac{1}{2}$
Так как $\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$, искомый острый угол равен $\gamma = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

2) Дано: $d_1 = 4$ м, $d_2 = 2\sqrt{3}$ м, $a = 1$ м.
Подставляем значения в формулу:
$\cos(\gamma) = \frac{4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1^2}{2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{16 + 12 - 4}{16\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Упростим дробь: $\cos(\gamma) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как $\cos(\gamma) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, искомый острый угол равен $\gamma = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

3.14. Две стороны остроугольного треугольника равны 6 см и 8 см, а синус угла между ними 0,6. Найдите синус двух других его углов и третью сторону.

Обозначим данный треугольник как $ABC$. Пусть стороны $b = 6$ см, $c = 8$ см, а угол между ними - $\angle A$. По условию, $\sin(A) = 0.6$ и треугольник является остроугольным.

Сначала найдем третью сторону $a$ (противолежащую углу $A$), используя теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$.

Для этого нам нужен $\cos(A)$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1$ получаем:$\cos^2(A) = 1 - \sin^2(A) = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.Таким образом, $\cos(A) = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.

Поскольку треугольник по условию остроугольный, все его углы должны быть меньше $90^\circ$. Косинус острого угла положителен, поэтому мы должны выбрать $\cos(A) = 0.8$.

Теперь можем вычислить сторону $a$:$a^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.8 = 36 + 64 - 96 \cdot 0.8 = 100 - 76.8 = 23.2$.Отсюда, третья сторона $a = \sqrt{23.2}$ см.

Далее найдем синусы двух других углов, $B$ и $C$, используя теорему синусов: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$.

Синус угла $B$, противолежащего стороне $b=6$ см:$\sin(B) = \frac{b \cdot \sin(A)}{a} = \frac{6 \cdot 0.6}{\sqrt{23.2}} = \frac{3.6}{\sqrt{23.2}}$.

Синус угла $C$, противолежащего стороне $c=8$ см:$\sin(C) = \frac{c \cdot \sin(A)}{a} = \frac{8 \cdot 0.6}{\sqrt{23.2}} = \frac{4.8}{\sqrt{23.2}}$.

Важное замечание: необходимо проверить, действительно ли полученный треугольник является остроугольным, как того требует условие. Треугольник является остроугольным, если квадрат его наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон. В нашем случае стороны равны $a=\sqrt{23.2} \approx 4.82$ см, $b=6$ см, $c=8$ см. Наибольшая сторона — $c=8$ см.Проверим неравенство $c^2 < a^2 + b^2$:$8^2 < (\sqrt{23.2})^2 + 6^2$$64 < 23.2 + 36$$64 < 59.2$Это неравенство неверно ($64 > 59.2$), что означает, что угол $C$ (противолежащий наибольшей стороне) является тупым. Таким образом, не существует остроугольного треугольника с заданными параметрами. Задача содержит внутреннее противоречие. Тем не менее, если проигнорировать условие об остроугольности и найти требуемые величины, то они будут такими, как вычислено выше.

Ответ:
Третья сторона: $a = \sqrt{23.2}$ см.
Синус угла, противолежащего стороне 6 см: $\sin(B) = \frac{3.6}{\sqrt{23.2}}$ (или, после рационализации, $\frac{9\sqrt{23.2}}{58}$).
Синус угла, противолежащего стороне 8 см: $\sin(C) = \frac{4.8}{\sqrt{23.2}}$ (или, после рационализации, $\frac{6\sqrt{23.2}}{29}$).

3.15. В треугольнике $ABC$ углы $A$ и $C$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно, а высота $AD = 3$ м. Найдите стороны треугольника.

Для решения задачи сначала найдем все углы треугольника $ABC$. Нам даны $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Поскольку угол $B$ является тупым ($\angle B > 90^\circ$), высота $AD$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, будет находиться вне треугольника. Точка $D$ (основание высоты) будет лежать на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$, где $AD$ — общий катет.

Теперь мы можем найти стороны треугольника, используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках $ADC$ и $ADB$.

Сторона AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем катет $AD = 3$ м, а противолежащий ему угол $\angle C = 30^\circ$. Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника.
Из определения синуса: $\sin C = \frac{AD}{AC}$.
Выразим $AC$:
$AC = \frac{AD}{\sin C} = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{1/2} = 6$ м.

Ответ: $AC = 6$ м.

Сторона AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
В $\triangle ADB$ известен катет $AD = 3$ м и противолежащий ему угол $\angle ABD = 75^\circ$. Сторона $AB$ является гипотенузой.
Из определения синуса: $\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$.
Выразим $AB$:
$AB = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{3}{\sin 75^\circ}$.
Для вычисления $\sin 75^\circ$ используем формулу синуса суммы:
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Подставим это значение:
$AB = \frac{3}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Ответ: $AB = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Сторона BC

Длину стороны $BC$ можно найти как разность длин отрезков $DC$ и $DB$, то есть $BC = DC - DB$.
1. Найдем $DC$ из прямоугольного $\triangle ADC$:
$\tan C = \frac{AD}{DC} \implies DC = \frac{AD}{\tan C} = \frac{3}{\tan 30^\circ} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ м.
2. Найдем $DB$ из прямоугольного $\triangle ADB$:
$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{DB} \implies DB = \frac{AD}{\tan(\angle ABD)} = \frac{3}{\tan 75^\circ}$.
Вычислим $\tan 75^\circ$:
$\tan 75^\circ = \tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1+1/\sqrt{3}}{1-1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = 2+\sqrt{3}$.
Тогда $DB = \frac{3}{2+\sqrt{3}} = \frac{3(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3}$ м.
3. Вычислим $BC$:
$BC = DC - DB = 3\sqrt{3} - (6 - 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 6 + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 6 = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.

Ответ: $BC = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.

3.16. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большая сторона 10 см, а угол при основании $70^\circ$. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Согласно условию задачи, мы имеем:

• Трапеция равнобедренная, следовательно, боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основании равны ($\angle{A} = \angle{D} = 70^\circ$).
• Меньшее основание равно боковой стороне: $BC = AB = CD$.
• Большее основание $AD = 10$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$. Обозначим длину равных сторон $AB$, $BC$ и $CD$ через $x$. Тогда формула периметра примет вид: $P = x + x + x + 10 = 3x + 10$. Для нахождения периметра необходимо найти значение $x$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Полученный четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $HK = BC = x$.

Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB = CD$ как боковые стороны равнобедренной трапеции, $BH = CK$ как высоты). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AH = DK$.

Длина большего основания $AD$ может быть выражена как сумма длин отрезков: $AD = AH + HK + DK$. Подставив известные значения и выражения, получим: $10 = AH + x + AH = 2 \cdot AH + x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известны гипотенуза $AB = x$ и угол $\angle{A} = 70^\circ$. Катет $AH$, прилежащий к этому углу, можно выразить через гипотенузу с помощью косинуса: $AH = AB \cdot \cos(\angle{A}) = x \cdot \cos(70^\circ)$.

Подставим это выражение для $AH$ в формулу для основания $AD$: $10 = 2 \cdot (x \cdot \cos(70^\circ)) + x$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $10 = x \cdot (2\cos(70^\circ) + 1)$. $x = \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}$.

Мы нашли длину боковой стороны и меньшего основания. Теперь можем вычислить периметр трапеции: $P = 3x + 10 = 3 \cdot \left(\frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}\right) + 10$. $P = \frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10$ см.

Так как значение $\cos(70^\circ)$ не является табличным рациональным числом, ответ представляется в виде этого выражения.

Ответ: Периметр трапеции равен $P = \left(\frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10\right)$ см.

3.17. Угол между ножками циркуля, расстояние между которыми 10 см, равен $30^\circ$. Найдите угол между ножками циркуля, если расстояние между ними равно 20 см.

Для решения этой задачи представим циркуль как равнобедренный треугольник, у которого ножки циркуля являются равными боковыми сторонами, а расстояние между концами ножек — основанием. Пусть длина ножки циркуля равна $L$, расстояние между концами ножек — $d$, а угол между ножками — $\alpha$.

Проведем высоту из вершины угла $\alpha$ к основанию $d$. В равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой. Она делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $L$, один катет равен половине основания, то есть $d/2$, а противолежащий этому катету угол равен половине угла $\alpha$, то есть $\alpha/2$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{L} = \frac{d}{2L}$

Это соотношение связывает угол, расстояние между ножками и длину ножки циркуля. Длина ножки $L$ является постоянной величиной.

Рассмотрим первое условие: расстояние между ножками $d_1 = 10$ см, а угол между ними $\alpha_1 = 30^\circ$.Подставим эти значения в нашу формулу:$sin(\frac{30^\circ}{2}) = \frac{10}{2L}$$sin(15^\circ) = \frac{5}{L}$

Отсюда мы можем выразить длину ножки циркуля $L$:$L = \frac{5}{sin(15^\circ)}$

Теперь рассмотрим второе условие: расстояние между ножками $d_2 = 20$ см. Нам нужно найти новый угол $\alpha_2$.Запишем для этого случая ту же формулу:$sin(\frac{\alpha_2}{2}) = \frac{d_2}{2L} = \frac{20}{2L} = \frac{10}{L}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $L$, которое мы нашли ранее:$sin(\frac{\alpha_2}{2}) = \frac{10}{\frac{5}{sin(15^\circ)}} = \frac{10 \cdot sin(15^\circ)}{5} = 2 \cdot sin(15^\circ)$

Теперь нам нужно найти значение $\alpha_2$. Сначала найдем $\frac{\alpha_2}{2}$:$\frac{\alpha_2}{2} = arcsin(2 \cdot sin(15^\circ))$

А затем и сам угол $\alpha_2$:$\alpha_2 = 2 \cdot arcsin(2 \cdot sin(15^\circ))$

Для получения численного ответа вычислим значение $sin(15^\circ)$. Используя формулу синуса разности, $sin(15^\circ) = sin(45^\circ - 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) - cos(45^\circ)sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx 0.2588$.

Тогда $sin(\frac{\alpha_2}{2}) = 2 \cdot sin(15^\circ) \approx 2 \cdot 0.2588 = 0.5176$.

$\frac{\alpha_2}{2} \approx arcsin(0.5176) \approx 31.17^\circ$.

$\alpha_2 \approx 2 \cdot 31.17^\circ \approx 62.34^\circ$.

Ответ: $\alpha_2 = 2 \cdot arcsin(2 \cdot sin(15^\circ)) \approx 62.34^\circ$.

3.18. Определите вид треугольника, если стороны треугольника равны:

1) 5, 4 и 4;

2) 17, 8 и 15;

3) 9, 5 и 6.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам $a, b, c$ необходимо сравнить квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других. Пусть $c$ – наибольшая сторона.
- Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
- Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора).
- Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.
Перед этим необходимо проверить, существует ли такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Для этого достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше самой большой.

1) Стороны равны 5, 4 и 4.
Обозначим стороны $a=4, b=4, c=5$. Наибольшая сторона $c=5$.
Проверим неравенство треугольника: $4 + 4 > 5$, то есть $8 > 5$. Неравенство выполняется, значит, такой треугольник существует.
Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 5^2 = 25$
$a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
Так как $25 < 32$, то есть $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

2) Стороны равны 17, 8 и 15.
Обозначим стороны в порядке возрастания $a=8, b=15, c=17$. Наибольшая сторона $c=17$.
Проверим неравенство треугольника: $8 + 15 > 17$, то есть $23 > 17$. Неравенство выполняется, значит, такой треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 17^2 = 289$
$a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
Так как $289 = 289$, то есть $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

3) Стороны равны 9, 5 и 6.
Обозначим стороны в порядке возрастания $a=5, b=6, c=9$. Наибольшая сторона $c=9$.
Проверим неравенство треугольника: $5 + 6 > 9$, то есть $11 > 9$. Неравенство выполняется, значит, такой треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 9^2 = 81$
$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$
Так как $81 > 61$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

3.19. Стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$. Докажите, что если:

1) $a^2 + b^2 > c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, острый;

2) $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, прямой;

3) $a^2 + b^2 < c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, тупой.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся теоремой косинусов. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Обозначим угол, противолежащий стороне $c$, как $\gamma$. Согласно теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\gamma$:

$2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2$

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, они представляют собой положительные числа, а значит, знаменатель $2ab$ всегда положителен. Следовательно, знак косинуса угла $\gamma$ определяется знаком числителя $a^2 + b^2 - c^2$. Тип угла $\gamma$ в треугольнике ($0^\circ < \gamma < 180^\circ$) напрямую зависит от знака его косинуса:

• Если $\cos(\gamma) > 0$, то угол $\gamma$ — острый ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$).
• Если $\cos(\gamma) = 0$, то угол $\gamma$ — прямой ($\gamma = 90^\circ$).
• Если $\cos(\gamma) < 0$, то угол $\gamma$ — тупой ($90^\circ < \gamma < 180^\circ$).

Теперь докажем каждое из утверждений.

1) если $a^2 + b^2 > c^2$, то угол, противолежащий стороне c, острый;

Если $a^2 + b^2 > c^2$, то разность $a^2 + b^2 - c^2$ положительна. Подставим это в формулу для косинуса угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Так как числитель $a^2 + b^2 - c^2 > 0$ и знаменатель $2ab > 0$, то значение дроби положительно, то есть $\cos(\gamma) > 0$. Для угла треугольника это означает, что угол $\gamma$ острый. Утверждение доказано.

Ответ: Если $a^2 + b^2 > c^2$, то числитель в формуле $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ положителен, следовательно $\cos(\gamma) > 0$, и угол $\gamma$ является острым.

2) если $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, противолежащий стороне c, прямой;

Если $a^2 + b^2 = c^2$, то разность $a^2 + b^2 - c^2$ равна нулю. Подставим это в формулу для косинуса угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{0}{2ab} = 0$

Значение $\cos(\gamma) = 0$ для угла треугольника соответствует прямому углу, то есть $\gamma = 90^\circ$. Это утверждение является теоремой, обратной теореме Пифагора. Утверждение доказано.

Ответ: Если $a^2 + b^2 = c^2$, то числитель в формуле $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ равен нулю, следовательно $\cos(\gamma) = 0$, и угол $\gamma$ является прямым.

3) если $a^2 + b^2 < c^2$, то угол, противолежащий стороне c, тупой.

Если $a^2 + b^2 < c^2$, то разность $a^2 + b^2 - c^2$ отрицательна. Подставим это в формулу для косинуса угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Так как числитель $a^2 + b^2 - c^2 < 0$ и знаменатель $2ab > 0$, то значение дроби отрицательно, то есть $\cos(\gamma) < 0$. Для угла треугольника это означает, что угол $\gamma$ тупой. Утверждение доказано.

Ответ: Если $a^2 + b^2 < c^2$, то числитель в формуле $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ отрицателен, следовательно $\cos(\gamma) < 0$, и угол $\gamma$ является тупым.

3.20. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м и 7 м.

Для того чтобы найти радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу, связывающую радиус с длинами сторон треугольника и его площадью: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — это стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В нашей задаче даны стороны треугольника: $a = 5$ м, $b = 6$ м, $c = 7$ м.

Чтобы воспользоваться формулой для радиуса, нам сначала нужно найти площадь треугольника. Поскольку известны все три стороны, удобнее всего использовать формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — это полупериметр треугольника.

1. Вычислим полупериметр $p$.

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ м.

2. Вычислим площадь треугольника $S$.

Подставим значения в формулу Герона: $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$.

Упростим полученное значение: $S = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$ м².

3. Вычислим радиус описанной окружности $R$.

Теперь, зная стороны и площадь, подставим все значения в формулу для радиуса: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $R = \frac{35}{4\sqrt{6}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$: $R = \frac{35 \cdot \sqrt{6}}{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ м.

Ответ: $\frac{35\sqrt{6}}{24}$ м.

3.21. Как найти стороны параллелограмма, если известны его диагонали и угол между ними?

Для нахождения сторон параллелограмма, зная его диагонали и угол между ними, необходимо использовать свойство диагоналей параллелограмма и теорему косинусов.

Пусть нам дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$, диагоналями $d_1$ и $d_2$. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$.

Основное свойство диагоналей параллелограмма заключается в том, что они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, образованных половинами диагоналей и сторонами параллелограмма.

1. Нахождение стороны $a$

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Две его стороны являются половинами диагоналей: $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$. Угол между ними $\angle AOB = \alpha$. Третья сторона этого треугольника — это сторона параллелограмма $AB = a$.

Применим теорему косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$a^2 = (AO)^2 + (BO)^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha)$

Подставим значения длин половин диагоналей:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\alpha)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для стороны $a$:

$a = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$

2. Нахождение стороны $b$

Рассмотрим смежный треугольник $\triangle BOC$. Его стороны $BO = d_2/2$ и $CO = d_1/2$. Третья сторона — $BC = b$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Снова применяем теорему косинусов для треугольника $\triangle BOC$:

$b^2 = (BO)^2 + (CO)^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, упростим выражение:

$b^2 = \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot (-\cos(\alpha))$

$b^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} + \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\alpha)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для стороны $b$:

$b = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$

Ответ: Если $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними, то стороны параллелограмма $a$ и $b$ можно найти по формулам:$a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$$b = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$