Страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Найдите стороны прямоугольного треугольника по периметру $2p$ и высоте $h_c$, опущенной к гипотенузе.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$.

Согласно условию задачи, периметр треугольника равен $2p$, а высота, опущенная на гипотенузу, равна $h_c$. Запишем это в виде системы уравнений, добавив известные свойства прямоугольного треугольника:

1. Периметр: $a + b + c = 2p$
2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$
3. Площадь: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$, откуда следует $ab = ch_c$

Наша цель — найти $a$, $b$ и $c$, используя данные $p$ и $h_c$.

Из первого уравнения выразим сумму катетов: $a+b = 2p - c$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(a+b)^2 = (2p-c)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = 4p^2 - 4pc + c^2$

Теперь подставим в это уравнение выражения из второго и третьего уравнений ($a^2+b^2 = c^2$ и $ab = ch_c$):

$c^2 + 2(ch_c) = 4p^2 - 4pc + c^2$

Сократим $c^2$ в обеих частях уравнения:

$2ch_c = 4p^2 - 4pc$

Перенесем члены с $c$ в одну сторону и решим уравнение относительно $c$:

$2ch_c + 4pc = 4p^2$

$2c(h_c + 2p) = 4p^2$

$c = \frac{4p^2}{2(h_c + 2p)} = \frac{2p^2}{2p + h_c}$

Таким образом, мы нашли длину гипотенузы.

Теперь найдем катеты $a$ и $b$. Мы знаем их сумму и произведение:

Сумма: $a+b = 2p - c = 2p - \frac{2p^2}{2p + h_c} = \frac{2p(2p+h_c) - 2p^2}{2p + h_c} = \frac{4p^2 + 2ph_c - 2p^2}{2p + h_c} = \frac{2p^2 + 2ph_c}{2p + h_c} = \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c}$

Произведение: $ab = ch_c = \frac{2p^2}{2p + h_c} \cdot h_c = \frac{2p^2h_c}{2p+h_c}$

Катеты $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$. Подставим найденные выражения для суммы и произведения:

$x^2 - \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c}x + \frac{2p^2h_c}{2p+h_c} = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения $D = (a+b)^2 - 4ab$:

$D = \left(\frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c}\right)^2 - 4\left(\frac{2p^2h_c}{2p+h_c}\right) = \frac{4p^2(p+h_c)^2}{(2p+h_c)^2} - \frac{8p^2h_c(2p+h_c)}{(2p+h_c)^2}$

$D = \frac{4p^2}{(2p+h_c)^2} \left[ (p+h_c)^2 - 2h_c(2p+h_c) \right]$

$D = \frac{4p^2}{(2p+h_c)^2} [ p^2 + 2ph_c + h_c^2 - 4ph_c - 2h_c^2 ] = \frac{4p^2(p^2 - 2ph_c - h_c^2)}{(2p+h_c)^2}$

Для существования вещественных решений (сторон треугольника) необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D \ge 0$. Это условие выполняется, если $p^2 - 2ph_c - h_c^2 \ge 0$. Решая это неравенство относительно $p$, получаем $p \ge h_c(1+\sqrt{2})$ (так как $p > 0$).

Корни уравнения (длины катетов $a$ и $b$) равны:

$x = \frac{(a+b) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c} \pm \sqrt{\frac{4p^2(p^2 - 2ph_c - h_c^2)}{(2p+h_c)^2}} \right)$

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c} \pm \frac{2p\sqrt{p^2 - 2ph_c - h_c^2}}{2p+h_c} \right)$

$x = \frac{p(p+h_c) \pm p\sqrt{p^2 - 2ph_c - h_c^2}}{2p+h_c}$

Итак, стороны треугольника равны:

Ответ: Гипотенуза равна $c = \frac{2p^2}{2p+h_c}$. Катеты равны $a, b = \frac{p(p+h_c) \pm p\sqrt{p^2 - 2ph_c - h_c^2}}{2p+h_c}$. Решение существует при выполнении условия $p \ge h_c(1+\sqrt{2})$.

3.58. В треугольнике $ABC$ угол $A$ в два раза больше угла $B$ и $AB=c$, $AC=b$. Найдите сторону $BC$.

Обозначим искомую сторону $BC$ как $a$. По условию задачи в треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=c$, $AC=b$ и соотношение углов $\angle A = 2\angle B$.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом. Проведем биссектрису $AD$ угла $A$, которая разделит его на два равных угла. Обозначим $\angle B = \beta$. Тогда, по условию, $\angle A = 2\beta$, а $\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A = \beta$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как в нем $\angle B = \beta$ и $\angle BAD = \beta$, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие против равных углов, равны: $AD = BD$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $DAC$. Угол $C$ у них является общим. Кроме того, $\angle CAD = \beta$ и $\angle ABC = \beta$, следовательно $\angle CAD = \angle ABC$. Таким образом, треугольник $DAC$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам ($\triangle DAC \sim \triangle BAC$).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон: $\frac{AC}{BC} = \frac{DC}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Пусть $AD = x$. Тогда из равнобедренного $\triangle ABD$ следует, что $BD = x$. Длина отрезка $DC$ равна $DC = BC - BD = a - x$. Подставив известные обозначения в пропорции, получаем систему из двух уравнений:
1) $\frac{b}{a} = \frac{a-x}{b}$
2) $\frac{b}{a} = \frac{x}{c}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = \frac{bc}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$b^2 = a(a-x) \implies b^2 = a^2 - ax$
$b^2 = a^2 - a \cdot \left(\frac{bc}{a}\right)$
$b^2 = a^2 - bc$
Выразим $a^2$ из полученного равенства:
$a^2 = b^2 + bc = b(b+c)$
Таким образом, длина стороны $BC$ равна:
$a = \sqrt{b(b+c)}$

Ответ: $BC = \sqrt{b(b+c)}$.

3.59. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, равная 12,5 см. Найдите стороны треугольника, если $\angle A=120^\circ$, $AC=20$ см.

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся известными данными: биссектриса $AD = 12.5$ см, сторона $AC = 20$ см и угол $\angle A = 120^\circ$.

1. Нахождение стороны AB

Обозначим искомые стороны $AB = c$ и $BC = a$, а известную сторону $AC = b = 20$ см. Длина биссектрисы $l_a$, проведенной к стороне $a$ из угла $A$, вычисляется по формуле:
$l_a = \frac{2bc \cos(\frac{A}{2})}{b+c}$

По условию $AD$ — биссектриса угла $A$, следовательно, она делит угол пополам:
$\angle CAD = \angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу длины биссектрисы: $l_a = AD = 12.5$ см, $b = AC = 20$ см, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$12.5 = \frac{2 \cdot 20 \cdot c \cdot \cos(60^\circ)}{20+c}$
$12.5 = \frac{2 \cdot 20 \cdot c \cdot \frac{1}{2}}{20+c}$
$12.5 = \frac{20c}{20+c}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$ (стороны $AB$):
$12.5 \cdot (20 + c) = 20c$
$250 + 12.5c = 20c$
$250 = 20c - 12.5c$
$250 = 7.5c$
$c = \frac{250}{7.5} = \frac{2500}{75} = \frac{100}{3}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $\frac{100}{3}$ см.

2. Нахождение стороны BC

Для нахождения третьей стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

Подставим известные значения: $b = 20$, $c = \frac{100}{3}$ и $\angle A = 120^\circ$ (при этом $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$):
$BC^2 = 20^2 + (\frac{100}{3})^2 - 2 \cdot 20 \cdot \frac{100}{3} \cdot (-\frac{1}{2})$
$BC^2 = 400 + \frac{10000}{9} + \frac{2000}{3}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 9:
$BC^2 = \frac{400 \cdot 9}{9} + \frac{10000}{9} + \frac{2000 \cdot 3}{9}$
$BC^2 = \frac{3600}{9} + \frac{10000}{9} + \frac{6000}{9}$
$BC^2 = \frac{3600 + 10000 + 6000}{9} = \frac{19600}{9}$

Чтобы найти длину стороны $BC$, извлечем квадратный корень:
$BC = \sqrt{\frac{19600}{9}} = \frac{\sqrt{19600}}{\sqrt{9}} = \frac{140}{3}$

Следовательно, длина стороны $BC$ равна $\frac{140}{3}$ см.

Ответ: Стороны треугольника равны $AC = 20$ см, $AB = \frac{100}{3}$ см, $BC = \frac{140}{3}$ см.

3.60. В равнобокой трапеции основания равны 12 см и 16 см, а центр описанной около нее окружности лежит на большем основании. Найдите боковую сторону и диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, $AD = 16$ см и $BC = 12$ см. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$.

Поскольку все вершины трапеции лежат на окружности, расстояния от центра $O$ до каждой вершины равны радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = OD = R$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AD$ и $OA = OD$, то $O$ является серединой основания $AD$. Следовательно, основание $AD$ является диаметром описанной окружности. Радиус окружности равен: $R = \frac{AD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Боковая сторона

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 12}{2} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHC$. Гипотенуза $OC$ является радиусом ($OC = R = 8$ см). Катет $OH$ равен $OD - HD = 8 - 2 = 6$ см. По теореме Пифагора найдем высоту $CH$: $CH^2 = OC^2 - OH^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$. Отсюда $CH = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $CD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = (2\sqrt{7})^2 + 2^2 = 28 + 4 = 32$. Таким образом, $CD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

Диагональ трапеции

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как он вписан в окружность и одна из его сторон ($AD$) является диаметром, то этот треугольник прямоугольный ($\angle ACD = 90^\circ$). Применим теорему Пифагора: $AD^2 = AC^2 + CD^2$.

Подставим известные значения $AD=16$ см и $CD=4\sqrt{2}$ см: $16^2 = AC^2 + (4\sqrt{2})^2$, что дает $256 = AC^2 + 32$. Отсюда $AC^2 = 256 - 32 = 224$.

Диагональ $AC = \sqrt{224} = \sqrt{16 \cdot 14} = 4\sqrt{14}$ см.

Ответ: $4\sqrt{14}$ см.

3.61. В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$, биссектриса $AD$ и медиана $AE$. Докажите, что выполняется неравенство $AH \leq AD \leq AE$.

Для доказательства неравенства $AH \le AD \le AE$ разобьем его на две части: 1) $AH \le AD$ и 2) $AD \le AE$.

Рассмотрим общий случай, когда треугольник $ABC$ не является равнобедренным. Случай равнобедренного треугольника с $AB=AC$ будет рассмотрен как случай, когда достигается равенство.

Доказательство неравенства $AH \le AD$

Рассмотрим треугольник $AHD$. По определению, высота $AH$ перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, угол $\angle AHD$ является прямым, то есть $\angle AHD = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $AHD$ — прямоугольный. В этом треугольнике $AD$ является гипотенузой (стороной, лежащей напротив прямого угла), а $AH$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы больше или равна длине любого из катетов. Отсюда следует, что $AH \le AD$.

Равенство $AH = AD$ достигается в том случае, когда треугольник $AHD$ вырождается в отрезок, то есть когда точки $H$ и $D$ совпадают. Это происходит, когда высота $AH$ одновременно является и биссектрисой $AD$. Такое возможно, если треугольник $ABC$ является равнобедренным с $AB=AC$.

Доказательство неравенства $AD \le AE$

Для доказательства этого неравенства сравним квадраты длин биссектрисы $AD$ и медианы $AE$. Пусть стороны треугольника $ABC$ имеют длины $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$.

Квадрат длины медианы $AE$ (обозначим $m_a$) вычисляется по формуле Аполлония:

$b^2 + c^2 = 2(m_a^2 + (\frac{a}{2})^2)$

Отсюда $m_a^2 = \frac{b^2+c^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.

Квадрат длины биссектрисы $AD$ (обозначим $l_a$) вычисляется по формуле:

$l_a^2 = bc \left(1 - \left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right) = bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$.

Найдем разность квадратов длин медианы и биссектрисы:

$m_a^2 - l_a^2 = \left(\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\right) - \left(bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{b^2+c^2-2bc}{2} - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2bc}{(b+c)^2} = \frac{(b-c)^2}{2} - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$

Вынесем общий множитель, чтобы упростить выражение:

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{1}{4} - \frac{bc}{(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{(b+c)^2 - 4bc}{4(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{b^2+2bc+c^2 - 4bc}{4(b+c)^2}\right) = \frac{(b-c)^2}{2} - a^2\left(\frac{b^2-2bc+c^2}{4(b+c)^2}\right)$

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{2} - \frac{a^2(b-c)^2}{4(b+c)^2}$

Вынесем за скобки $\frac{(b-c)^2}{4}$:

$m_a^2 - l_a^2 = \frac{(b-c)^2}{4} \left(2 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)$

Теперь проанализируем полученное выражение. Квадрат разности $(b-c)^2$ всегда неотрицателен: $(b-c)^2 \ge 0$.

По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше третьей стороны: $b+c > a$. Поскольку длины сторон положительны, мы можем возвести обе части в квадрат: $(b+c)^2 > a^2$. Отсюда следует, что $\frac{a^2}{(b+c)^2} < 1$.

Тогда выражение в скобках $2 - \frac{a^2}{(b+c)^2} > 2 - 1 = 1$, то есть оно всегда положительно.

Таким образом, разность $m_a^2 - l_a^2$ является произведением неотрицательного числа $\frac{(b-c)^2}{4}$ и положительного числа $\left(2 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)$. Следовательно, $m_a^2 - l_a^2 \ge 0$, что означает $m_a^2 \ge l_a^2$.

Так как длины отрезков неотрицательны, из $m_a^2 \ge l_a^2$ следует $m_a \ge l_a$, то есть $AE \ge AD$.

Равенство $AD = AE$ достигается, когда $(b-c)^2 = 0$, то есть когда $b=c$. Это соответствует случаю равнобедренного треугольника $ABC$ с $AB=AC$, в котором биссектриса и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадают.

Заключение

Мы доказали, что $AH \le AD$ и $AD \le AE$. Объединяя эти два неравенства, получаем итоговое неравенство: $AH \le AD \le AE$.

Полное равенство $AH = AD = AE$ выполняется тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ ($AB=AC$), так как в этом случае высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадают.

Ответ: Неравенство $AH \le AD \le AE$ доказано.

3.62. В треугольнике $ABC$ разность углов $A$ и $B$ равна $\phi$. Высота, опущенная из вершины $C$, равна разности $BC$ и $AC$. Найдите углы треугольника.

Обозначим углы треугольника как $A, B, C$, а противолежащие им стороны как $a, b, c$ соответственно. Высоту, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$, обозначим как $h_c$.

Из условия задачи имеем два соотношения:
1. Разность углов $A$ и $B$ равна $\phi$: $A - B = \phi$. Из этого следует, что $A > B$, а значит и $a > b$.
2. Высота из вершины $C$ равна разности сторон $BC$ и $AC$: $h_c = a - b$.

Изобразим треугольник $ABC$ и его высоту $CD = h_c$.

Высоту $h_c$ можно выразить через сторону $b$ и угол $A$ из прямоугольного треугольника $ADC$: $h_c = b \sin(A)$.
Подставим это выражение в условие $h_c = a - b$:
$b \sin(A) = a - b$
$a = b + b \sin(A) = b(1 + \sin(A))$

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$
Подставим в это равенство полученное выражение для $a$:
$\frac{b(1 + \sin(A))}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$
Так как $b$ - длина стороны, $b \ne 0$, мы можем сократить на $b$:
$\frac{1 + \sin(A)}{\sin(A)} = \frac{1}{\sin(B)}$
$ (1 + \sin(A)) \sin(B) = \sin(A)$
$\sin(B) + \sin(A)\sin(B) = \sin(A)$
Перегруппировав члены, получаем ключевое соотношение:
$\sin(A) - \sin(B) = \sin(A)\sin(B)$

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Левую часть преобразуем по формуле разности синусов, а правую — по формуле произведения синусов:
$2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

Теперь подставим известные нам величины. Из условия $A - B = \phi$. Сумма углов треугольника $A+B+C = 180^\circ$, откуда $A+B = 180^\circ - C$.
$2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \cos\left(\frac{180^\circ - C}{2}\right) = \frac{1}{2}[\cos(\phi) - \cos(180^\circ - C)]$
Используя формулы приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$ и $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{2}[\cos(\phi) + \cos(C)]$
$4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \cos(\phi) + \cos(C)$

Это уравнение относительно одного неизвестного угла $C$. Выразим $\cos(C)$ через $\sin(C/2)$ по формуле двойного угла: $\cos(C) = 1 - 2\sin^2(C/2)$.
$4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) = \cos(\phi) + 1 - 2\sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin(C/2)$:
$2\sin^2\left(\frac{C}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) - (1 + \cos(\phi)) = 0$
Используем формулу половинного угла $1 + \cos(\phi) = 2\cos^2(\phi/2)$:
$2\sin^2\left(\frac{C}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) - 2\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = 0$
Разделим уравнение на 2:
$\sin^2\left(\frac{C}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \sin\left(\frac{C}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = 0$

Решим это квадратное уравнение для $x = \sin(C/2)$. Дискриминант $D = (2\sin(\phi/2))^2 - 4(1)(-\cos^2(\phi/2)) = 4\sin^2(\phi/2) + 4\cos^2(\phi/2) = 4(\sin^2(\phi/2) + \cos^2(\phi/2)) = 4$.
Корни уравнения:
$\sin\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{-2\sin(\phi/2) \pm \sqrt{4}}{2} = -\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \pm 1$
Так как $C$ — угол треугольника, $0^\circ < C < 180^\circ$, следовательно $0^\circ < C/2 < 90^\circ$ и $\sin(C/2) > 0$.
Также $A > B \ge 0$, поэтому $0^\circ < \phi < 180^\circ$, и $\sin(\phi/2) > 0$.
Решение $\sin(C/2) = -\sin(\phi/2) - 1$ является отрицательным, поэтому оно не подходит.
Остается единственное верное решение:
$\sin\left(\frac{C}{2}\right) = 1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$
Отсюда находим угол $C$:
$\frac{C}{2} = \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$C = 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$

Теперь найдем углы $A$ и $B$. У нас есть система из двух уравнений:
1. $A - B = \phi$
2. $A + B = 180^\circ - C = 180^\circ - 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
Сложим эти два уравнения:
$2A = 180^\circ + \phi - 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$A = 90^\circ + \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
Вычтем первое уравнение из второго:
$2B = 180^\circ - \phi - 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$B = 90^\circ - \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$

Ответ: Углы треугольника равны:
$A = 90^\circ + \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$B = 90^\circ - \frac{\phi}{2} - \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$
$C = 2 \arcsin\left(1 - \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)$