Номер 3.58, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.58. В треугольнике $ABC$ угол $A$ в два раза больше угла $B$ и $AB=c$, $AC=b$. Найдите сторону $BC$.

Обозначим искомую сторону $BC$ как $a$. По условию задачи в треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=c$, $AC=b$ и соотношение углов $\angle A = 2\angle B$.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом. Проведем биссектрису $AD$ угла $A$, которая разделит его на два равных угла. Обозначим $\angle B = \beta$. Тогда, по условию, $\angle A = 2\beta$, а $\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A = \beta$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как в нем $\angle B = \beta$ и $\angle BAD = \beta$, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие против равных углов, равны: $AD = BD$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $DAC$. Угол $C$ у них является общим. Кроме того, $\angle CAD = \beta$ и $\angle ABC = \beta$, следовательно $\angle CAD = \angle ABC$. Таким образом, треугольник $DAC$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам ($\triangle DAC \sim \triangle BAC$).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон: $\frac{AC}{BC} = \frac{DC}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Пусть $AD = x$. Тогда из равнобедренного $\triangle ABD$ следует, что $BD = x$. Длина отрезка $DC$ равна $DC = BC - BD = a - x$. Подставив известные обозначения в пропорции, получаем систему из двух уравнений:
1) $\frac{b}{a} = \frac{a-x}{b}$
2) $\frac{b}{a} = \frac{x}{c}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = \frac{bc}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$b^2 = a(a-x) \implies b^2 = a^2 - ax$
$b^2 = a^2 - a \cdot \left(\frac{bc}{a}\right)$
$b^2 = a^2 - bc$
Выразим $a^2$ из полученного равенства:
$a^2 = b^2 + bc = b(b+c)$
Таким образом, длина стороны $BC$ равна:
$a = \sqrt{b(b+c)}$

Ответ: $BC = \sqrt{b(b+c)}$.