Номер 3.63, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. В параллелограмме высоты равны $h_1$ и $h_2$. Найдите острый угол параллелограмма, если его периметр равен $2p$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними равен $\alpha$. Высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно. В условии задачи даны высоты $h_1$ и $h_2$. Соотнесем их с высотами к сторонам $a$ и $b$. Пусть $h_a = h_1$ и $h_b = h_2$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$, и по условию он равен $2p$.

Из условия о периметре получаем:

$2(a+b) = 2p$

$a+b = p$

Рассмотрим параллелограмм и его высоту. Высота, опущенная на сторону $a$, образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является смежная сторона $b$.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_a$, стороной $b$ и частью стороны $a$, видно, что синус острого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (смежной стороне):

$\sin(\alpha) = \frac{h_a}{b}$

Аналогично, для высоты $h_b$, опущенной на сторону $b$, гипотенузой будет сторона $a$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_b}{a}$

Используя наши обозначения $h_a = h_1$ и $h_b = h_2$, получаем систему уравнений:

1) $a+b = p$

2) $h_1 = b \sin(\alpha)$

3) $h_2 = a \sin(\alpha)$

Из уравнений (2) и (3) выразим стороны $a$ и $b$ через высоты и синус угла $\alpha$:

$b = \frac{h_1}{\sin(\alpha)}$

$a = \frac{h_2}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим эти выражения в уравнение (1) для полупериметра:

$\frac{h_2}{\sin(\alpha)} + \frac{h_1}{\sin(\alpha)} = p$

Сложим дроби:

$\frac{h_1 + h_2}{\sin(\alpha)} = p$

Отсюда выражаем $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_1 + h_2}{p}$

Острый угол параллелограмма $\alpha$ можно найти, взяв арксинус от полученного значения:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$

Ответ: $\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$.