Номер 3.69, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. В равнобокой трапеции с боковой стороной $a$ и острым углом $\alpha$ меньшее основание равно боковой стороне. Найдите большее основание и площадь трапеции.

Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. По условию задачи, боковые стороны AB и CD равны $a$, меньшее основание BC также равно $a$, а острый угол при основании AD, например, $\angle BAD$, равен $\alpha$.

Большее основание

Для нахождения длины большего основания AD, проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD.
Фигура HBCK является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания: $HK = BC = a$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Катет AH, прилежащий к углу $\alpha$, можно найти через косинус:
$AH = AB \cdot \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$.
Так как трапеция равнобокая, то треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны. Отсюда следует, что $KD = AH = a \cos(\alpha)$.
Большее основание AD равно сумме длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$.
Подставим найденные значения:
$AD = a \cos(\alpha) + a + a \cos(\alpha) = a + 2a \cos(\alpha)$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$AD = a(1 + 2\cos(\alpha))$.
Ответ: $a(1 + 2\cos(\alpha))$.

Площадь трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Найдем высоту $h = BH$ из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$. Катет BH, противолежащий углу $\alpha$, находится через синус:
$h = AB \cdot \sin(\alpha) = a \sin(\alpha)$.
Теперь подставим все известные величины в формулу площади:
$S = \frac{a + a(1 + 2\cos(\alpha))}{2} \cdot a \sin(\alpha)$.
Упростим выражение в числителе дроби:
$S = \frac{a + a + 2a\cos(\alpha)}{2} \cdot a \sin(\alpha) = \frac{2a + 2a\cos(\alpha)}{2} \cdot a \sin(\alpha)$.
Вынесем 2 за скобки и сократим дробь:
$S = \frac{2a(1 + \cos(\alpha))}{2} \cdot a \sin(\alpha) = a(1 + \cos(\alpha)) \cdot a \sin(\alpha)$.
Окончательно получаем:
$S = a^2 \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))$.
Ответ: $a^2 \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))$.