Номер 3.71, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен $\alpha$. Найдите отношение радиусов описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Пусть дан равнобедренный треугольник с углами при основании $\alpha$. Тогда угол при вершине, противолежащий основанию, равен $\pi - 2\alpha$. Обозначим радиус описанной окружности как $R$ и радиус вписанной окружности как $r$.

Для нахождения отношения радиусов $\frac{R}{r}$ воспользуемся общей формулой для любого треугольника, связывающей радиус вписанной окружности $r$, радиус описанной окружности $R$ и углы треугольника $A, B, C$:

$r = 4R \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$

В нашем случае углы треугольника равны $A = \alpha$, $C = \alpha$ и $B = \pi - 2\alpha$. Половинные углы соответственно равны:

$\frac{A}{2} = \frac{\alpha}{2}$

$\frac{C}{2} = \frac{\alpha}{2}$

$\frac{B}{2} = \frac{\pi - 2\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \alpha$

Подставим эти значения в формулу. Учтем, что $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$.

$r = 4R \sin\frac{\alpha}{2} \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin\frac{\alpha}{2} = 4R \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\alpha$

Из полученного соотношения выразим искомое отношение $\frac{R}{r}$:

$\frac{r}{R} = 4 \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\alpha$

$\frac{R}{r} = \frac{1}{4 \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\alpha}$

Это выражение можно также преобразовать, используя формулу понижения степени $2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha$:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{2(1 - \cos\alpha)\cos\alpha}$

Оба вида ответа являются верными. Для существования треугольника необходимо, чтобы $2\alpha < \pi$, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{4 \sin^2(\alpha/2) \cos\alpha}$