Номер 3.78, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.78. В треугольнике даны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$ между ними. Найдите высоту, опущенную к третьей стороне.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны стороны $AC = b$, $BC = a$ и угол между ними $\angle C = \alpha$. Требуется найти высоту $h$, опущенную из вершины $C$ на третью сторону $AB$. Обозначим третью сторону $AB = c$.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле с использованием двух сторон и угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$.

С другой стороны, площадь того же треугольника можно выразить через основание $c$ и высоту $h$, опущенную на это основание: $S = \frac{1}{2}ch$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем равенство: $\frac{1}{2}ch = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$, из которого следует: $ch = ab \sin \alpha$. Отсюда можно выразить искомую высоту $h$: $h = \frac{ab \sin \alpha}{c}$.

В полученной формуле неизвестной является длина третьей стороны $c$. Чтобы ее найти, применим теорему косинусов для того же треугольника: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$. Следовательно, длина третьей стороны равна: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha}$.

Теперь подставим найденное выражение для стороны $c$ в формулу для высоты $h$: $h = \frac{ab \sin \alpha}{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha}}$. Это и есть окончательная формула для высоты, опущенной на третью сторону.

Ответ: $h = \frac{ab \sin\alpha}{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}}$