Номер 3.82, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. На стороны угла с вершиной в точке $O$ из внутренней точки $A$ опущены перпендикуляры $AB$ и $AC$. Найдите $AB$ и $AC$, если $\angle BOC=\alpha$, $OB=m$, $OC=n$.

Рассмотрим данный угол $∠BOC = α$ с вершиной в точке O. Из внутренней точки A на стороны угла опущены перпендикуляры AB и AC. Это означает, что B лежит на луче OB, C лежит на луче OC, и при этом $∠OBA = 90°$ и $∠OCA = 90°$. По условию, длины отрезков от вершины до оснований перпендикуляров равны $OB = m$ и $OC = n$.

Рассмотрим четырехугольник OBAC. Сумма его углов $∠OBA$ и $∠OCA$ равна $90° + 90° = 180°$. Так как сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, вокруг него можно описать окружность. Отрезок OA является общей гипотенузой для прямоугольных треугольников $ΔOBA$ и $ΔOCA$, поэтому OA — диаметр этой окружности.

В треугольнике $ΔOBC$ нам известны две стороны $OB=m$, $OC=n$ и угол между ними $∠BOC = α$. По теореме косинусов найдем длину стороны BC:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(∠BOC)$

$BC^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)$

С другой стороны, BC является хордой в окружности, описанной вокруг четырехугольника OBAC. Длина хорды связана с диаметром окружности (который равен OA) и вписанным углом, опирающимся на эту хорду. Угол $∠BOC = α$ является вписанным углом, опирающимся на хорду BC. Следовательно:

$BC = OA \cdot \sin(∠BOC) = OA \cdot \sin(α)$

Возведем это выражение в квадрат:

$BC^2 = OA^2 \sin^2(α)$

Приравняем два полученных выражения для $BC^2$:

$OA^2 \sin^2(α) = m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)$

Отсюда выразим $OA^2$:

$OA^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)}$

Теперь мы можем найти длины искомых перпендикуляров AB и AC, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $ΔOBA$ и $ΔOCA$.

Для $ΔOBA$:

$AB^2 = OA^2 - OB^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)} - m^2$

$AB^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α) - m^2 \sin^2(α)}{\sin^2(α)}$

$AB^2 = \frac{m^2(1 - \sin^2(α)) + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(α) = 1 - \sin^2(α)$, получаем:

$AB^2 = \frac{m^2 \cos^2(α) - 2mn \cos(α) + n^2}{\sin^2(α)} = \frac{(n - m \cos(α))^2}{\sin^2(α)}$

Извлекая квадратный корень, находим длину AB:

$AB = \frac{|n - m \cos(α)|}{|\sin(α)|}$

Для $ΔOCA$:

$AC^2 = OA^2 - OC^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)} - n^2$

$AC^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn \cos(α) - n^2 \sin^2(α)}{\sin^2(α)}$

$AC^2 = \frac{m^2 + n^2(1 - \sin^2(α)) - 2mn \cos(α)}{\sin^2(α)}$

$AC^2 = \frac{m^2 - 2mn \cos(α) + n^2 \cos^2(α)}{\sin^2(α)} = \frac{(m - n \cos(α))^2}{\sin^2(α)}$

Извлекая квадратный корень, находим длину AC:

$AC = \frac{|m - n \cos(α)|}{|\sin(α)|}$

Поскольку угол $α$ находится внутри геометрической фигуры, можно считать, что $0 < α < 180°$, поэтому $\sin(α) > 0$.

Ответ: $AB = \frac{|n - m \cos(α)|}{\sin(α)}$, $AC = \frac{|m - n \cos(α)|}{\sin(α)}$.