Номер 3.88, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.88. Внутренняя точка O треугольника ABC удовлетворяет равенству $\angle ABO = \angle BCO = \angle CAO = \varphi$. Выразите $\operatorname{tg}\varphi$ через площадь треугольника и его стороны.

Пусть в треугольнике $ABC$ углы при вершинах равны $A, B, C$, а длины противолежащих им сторон равны $a, b, c$ соответственно. Площадь треугольника обозначим через $S$. По условию, внутренняя точка $O$ такова, что $\angle ABO = \angle BCO = \angle CAO = \varphi$.

Изобразим данный треугольник и точку $O$ на рисунке:

Рассмотрим три треугольника, на которые точка $O$ разбивает треугольник $ABC$: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COA$. Найдем углы этих треугольников.

В $\triangle AOB$: $\angle OAB = \angle A - \angle CAO = A - \varphi$, $\angle ABO = \varphi$. Тогда $\angle AOB = 180^\circ - (A - \varphi) - \varphi = 180^\circ - A$.

В $\triangle BOC$: $\angle OBC = \angle B - \angle ABO = B - \varphi$, $\angle BCO = \varphi$. Тогда $\angle BOC = 180^\circ - (B - \varphi) - \varphi = 180^\circ - B$.

В $\triangle COA$: $\angle OCA = \angle C - \angle BCO = C - \varphi$, $\angle CAO = \varphi$. Тогда $\angle COA = 180^\circ - (C - \varphi) - \varphi = 180^\circ - C$.

Применим теорему синусов к треугольникам $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$.

Из $\triangle AOB$: $$ \frac{OB}{\sin(\angle OAB)} = \frac{c}{\sin(\angle AOB)} \implies \frac{OB}{\sin(A - \varphi)} = \frac{c}{\sin(180^\circ - A)} = \frac{c}{\sin A} $$ Отсюда $OB = \frac{c \sin(A - \varphi)}{\sin A}$.

Из $\triangle BOC$: $$ \frac{OB}{\sin(\angle BCO)} = \frac{a}{\sin(\angle BOC)} \implies \frac{OB}{\sin \varphi} = \frac{a}{\sin(180^\circ - B)} = \frac{a}{\sin B} $$ Отсюда $OB = \frac{a \sin \varphi}{\sin B}$.

Приравнивая два полученных выражения для $OB$, получаем: $$ \frac{c \sin(A - \varphi)}{\sin A} = \frac{a \sin \varphi}{\sin B} $$ $$ c \sin B \sin(A - \varphi) = a \sin A \sin \varphi $$ Раскроем синус разности: $$ c \sin B (\sin A \cos \varphi - \cos A \sin \varphi) = a \sin A \sin \varphi $$ Предполагая, что $\varphi \neq 90^\circ$ (то есть $\cos \varphi \neq 0$), разделим обе части уравнения на $\cos \varphi$: $$ c \sin B (\sin A - \cos A \tan \varphi) = a \sin A \tan \varphi $$ $$ c \sin A \sin B - c \sin B \cos A \tan \varphi = a \sin A \tan \varphi $$ Сгруппируем члены с $\tan \varphi$: $$ c \sin A \sin B = (a \sin A + c \sin B \cos A) \tan \varphi $$ Отсюда выражаем $\tan \varphi$: $$ \tan \varphi = \frac{c \sin A \sin B}{a \sin A + c \sin B \cos A} $$

Теперь выразим синусы и косинусы углов треугольника $ABC$ через его стороны $a,b,c$, площадь $S$ и радиус описанной окружности $R$. По теореме синусов для $\triangle ABC$: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$. Отсюда $\sin A = \frac{a}{2R}$ и $\sin B = \frac{b}{2R}$. По теореме косинусов: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\tan \varphi$: $$ \tan \varphi = \frac{c \left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right)}{a \left(\frac{a}{2R}\right) + c \left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)} $$ $$ \tan \varphi = \frac{\frac{abc}{4R^2}}{\frac{a^2}{2R} + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4R}} = \frac{\frac{abc}{4R^2}}{\frac{2a^2 + b^2 + c^2 - a^2}{4R}} $$ $$ \tan \varphi = \frac{\frac{abc}{4R^2}}{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4R}} = \frac{abc}{4R^2} \cdot \frac{4R}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{abc}{R(a^2 + b^2 + c^2)} $$

Используем формулу площади треугольника через радиус описанной окружности: $S = \frac{abc}{4R}$. Отсюда $abc = 4RS$. Подставим это в полученное выражение для $\tan \varphi$: $$ \tan \varphi = \frac{4RS}{R(a^2 + b^2 + c^2)} = \frac{4S}{a^2 + b^2 + c^2} $$ Этот результат также можно получить, зная, что $\cot \varphi = \cot A + \cot B + \cot C$, и выражая котангенсы через стороны и площадь.

Ответ: $$ \tan \varphi = \frac{4S}{a^2 + b^2 + c^2} $$ где $S$ — площадь треугольника $ABC$, а $a, b, c$ — длины его сторон.