Номер 3.85, страница 124 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.85. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты, опущенные из вершин $A$ и $B$, равны $m$ и $n$, а острый угол между этими высотами равен $\alpha$. Найдите сторону $AB$ треугольника.

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ высоты, опущенные из вершин $A$ и $B$, равны $AA_1 = h_a = m$ и $BB_1 = h_b = n$. Пусть $H$ – точка пересечения этих высот (ортоцентр).

Рассмотрим четырехугольник $A_1CB_1H$. Углы $\angle CA_1H$ и $\angle CB_1H$ являются прямыми, так как $AA_1$ и $BB_1$ – высоты треугольника. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому сумма двух других углов $\angle C + \angle A_1HB_1 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.

По условию, острый угол между высотами $AA_1$ и $BB_1$ равен $\alpha$. Углы между пересекающимися прямыми $AA_1$ и $BB_1$ – это вертикальные углы при вершине $H$. Одна пара этих углов острая ($\alpha$), другая – тупая ($180^\circ - \alpha$). Пусть острый угол $\angle AHB_1 = \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle A_1HB_1 = 180^\circ - \angle AHB_1 = 180^\circ - \alpha$.

Подставим выражение для $\angle A_1HB_1$ в соотношение для углов четырехугольника $A_1CB_1H$:
$\angle C + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$
Отсюда следует, что $\angle C = \alpha$.

Площадь $S$ треугольника $ABC$ можно выразить через высоты и через угол $C$:
$S = \frac{1}{2} BC \cdot AA_1 = \frac{1}{2} BC \cdot m$
$S = \frac{1}{2} AC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} AC \cdot n$
$S = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin \alpha$

Из первых двух равенств выразим стороны $AC$ и $BC$:
$BC = \frac{2S}{m}$, $AC = \frac{2S}{n}$

Подставим эти выражения в третью формулу для площади:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2S}{n}\right) \left(\frac{2S}{m}\right) \sin \alpha = \frac{2S^2}{mn}\sin\alpha$

Поскольку $S \ne 0$, мы можем разделить обе части на $S$ и выразить площадь:
$1 = \frac{2S}{mn}\sin\alpha \implies S = \frac{mn}{2\sin\alpha}$

Теперь мы можем найти длину стороны $AB$ с помощью теоремы косинусов в треугольнике $ABC$ :
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$

Выразим стороны $AC$ и $BC$ через известные величины, используя найденную площадь $S$:
$AC = \frac{2S}{n} = \frac{2}{n} \cdot \frac{mn}{2\sin\alpha} = \frac{m}{\sin\alpha}$
$BC = \frac{2S}{m} = \frac{2}{m} \cdot \frac{mn}{2\sin\alpha} = \frac{n}{\sin\alpha}$

Подставим эти выражения и $\angle C=\alpha$ в теорему косинусов:
$AB^2 = \left(\frac{m}{\sin\alpha}\right)^2 + \left(\frac{n}{\sin\alpha}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m}{\sin\alpha} \cdot \frac{n}{\sin\alpha} \cdot \cos\alpha$
$AB^2 = \frac{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$

Извлекая квадратный корень, получаем окончательное выражение для стороны $AB$:
$AB = \frac{\sqrt{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}}{\sin\alpha}$

Ответ: $AB = \frac{\sqrt{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}}{\sin\alpha}$