Номер 3.81, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.81. В треугольнике ABC угол A равен $\alpha$, стороны AB и AC равны c и b соответственно $(b>c)$. Найдите отрезок биссектрисы внешнего угла A, ограниченный прямой BC.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны угол $\angle A = \alpha$, сторона $AB = c$ и сторона $AC = b$, причем $b > c$.Пусть $AD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $A$. Обозначим ее длину как $l_a'$.Поскольку $b > c$, то есть $AC > AB$, то против большей стороны лежит больший угол, следовательно, $\angle B > \angle C$.Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Обозначим точку пересечения как $D$. Таким образом, точка $B$ лежит между точками $D$ и $C$.

Изобразим данную конфигурацию на рисунке. Продлим сторону $CA$ за вершину $A$ до точки $K$. Тогда $\angle KAB$ — внешний угол при вершине $A$, и $AD$ является его биссектрисой.

Для нахождения длины отрезка $AD$ воспользуемся методом площадей.Точки $D, B, C$ лежат на одной прямой, поэтому площадь треугольника $ADC$ равна сумме площадей треугольников $ADB$ и $ABC$:$S_{ADC} = S_{ADB} + S_{ABC}$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1. Площадь треугольника $ABC$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} bc \sin\alpha$

2. Найдем углы для других треугольников.Внешний угол при вершине $A$ — это $\angle KAB$. Он смежен с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle KAB = 180^\circ - \alpha$.Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle KAB$, то $\angle KAD = \angle DAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Угол $\angle DAC$ состоит из углов $\angle DAB$ и $\angle BAC$:$\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC = (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + \alpha = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

3. Площадь треугольника $ADB$:Стороны $AD=l_a'$ и $AB=c$, угол между ними $\angle DAB = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.$S_{ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot AB \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} l_a' c \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2})$

4. Площадь треугольника $ADC$:Стороны $AD=l_a'$ и $AC=b$, угол между ними $\angle DAC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin(\angle DAC) = \frac{1}{2} l_a' b \sin(90^\circ + \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2})$

5. Подставим выражения для площадей в исходное равенство:$\frac{1}{2} l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} bc \sin\alpha$

Умножим обе части уравнения на 2:$l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2}) = l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2}) + bc \sin\alpha$

Перенесем члены с $l_a'$ в левую часть:$l_a' b \cos(\frac{\alpha}{2}) - l_a' c \cos(\frac{\alpha}{2}) = bc \sin\alpha$$l_a' (b-c) \cos(\frac{\alpha}{2}) = bc \sin\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.$l_a' (b-c) \cos(\frac{\alpha}{2}) = bc \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$

Поскольку $0 < \alpha < 180^\circ$, то $0 < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$, и $\cos(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Можем разделить обе части на $\cos(\frac{\alpha}{2})$:$l_a' (b-c) = 2bc \sin(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, выразим $l_a'$. Так как по условию $b > c$, то $b-c \neq 0$.$l_a' = \frac{2bc}{b-c} \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: Длина отрезка биссектрисы внешнего угла $A$, ограниченного прямой $BC$, равна $l_a' = \frac{2bc}{b-c} \sin\frac{\alpha}{2}$.