Номер 3.84, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.84. Зная углы треугольника, найдите угол между медианой и высотой, опущенными из одной вершины.

Пусть дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. Из вершины $A$ к стороне $BC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$. Нам необходимо найти угол $\delta = \angle HAM$.

Для наглядности приведем рисунок. Будем считать, что углы $\beta$ и $\gamma$ острые и $\beta > \gamma$.

Поскольку $AH$ — высота, треугольник $AHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике тангенс искомого угла $\delta$ равен отношению противолежащего катета $HM$ к прилежащему катету $AH$:

$\tan\delta = \tan(\angle HAM) = \frac{HM}{AH}$

Выразим длину отрезка $HM$ через длину высоты $AH$ и углы треугольника. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $AHB$ и $AHC$.

Из $\triangle AHB$ (прямоугольного в $H$) имеем: $BH = \frac{AH}{\tan\beta} = AH\cot\beta$.

Из $\triangle AHC$ (прямоугольного в $H$) имеем: $CH = \frac{AH}{\tan\gamma} = AH\cot\gamma$.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $CH$ (в случае остроугольного треугольника):

$BC = BH + CH = AH(\cot\beta + \cot\gamma)$

Поскольку $AM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно:

$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}AH(\cot\beta + \cot\gamma)$

Если предположить, что $\beta > \gamma$, то сторона $AC > AB$. В этом случае основание высоты $H$ лежит между точками $B$ и $M$. Тогда длина отрезка $HM$ равна разности длин $BM$ и $BH$:

$HM = BM - BH = \frac{1}{2}AH(\cot\beta + \cot\gamma) - AH\cot\beta = \frac{1}{2}AH(\cot\gamma - \cot\beta)$

Если же $\gamma > \beta$, то точка $H$ будет лежать между $M$ и $C$, и тогда $HM = CM - CH$. Расчеты приведут к результату $HM = \frac{1}{2}AH(\cot\beta - \cot\gamma)$. Чтобы объединить оба случая, используем модуль разности:

$HM = \frac{1}{2}AH|\cot\beta - \cot\gamma|$

Эта формула верна и для тупоугольных треугольников. Например, если угол $\beta$ тупой, то точка $B$ окажется между $H$ и $C$, и тогда $BC = CH - BH$. При этом $\cot\beta$ будет отрицательным, и итоговая формула для $HM$ останется прежней.

Теперь подставим выражение для $HM$ в формулу для тангенса угла $\delta$:

$\tan\delta = \frac{HM}{AH} = \frac{\frac{1}{2}AH|\cot\beta - \cot\gamma|}{AH} = \frac{|\cot\beta - \cot\gamma|}{2}$

Таким образом, мы нашли тангенс искомого угла. Сам угол $\delta$ равен арктангенсу этого выражения.

Выражение для тангенса можно также преобразовать, используя тригонометрические тождества:

$\frac{|\cot\beta - \cot\gamma|}{2} = \frac{1}{2}\left|\frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{\sin\gamma\cos\beta - \cos\gamma\sin\beta}{\sin\beta\sin\gamma}\right| = \frac{|\sin(\gamma - \beta)|}{2\sin\beta\sin\gamma} = \frac{|\sin(\beta - \gamma)|}{2\sin\beta\sin\gamma}$

Заметим, что если $\beta = \gamma$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и высота $AH$ совпадает с медианой $AM$. В этом случае угол между ними равен нулю. Наша формула это подтверждает: $\tan\delta = \frac{|\cot\beta - \cot\beta|}{2} = 0$, откуда $\delta=0$.

Ответ:
Если медиана и высота проведены из вершины с углом $\alpha$, а два других угла треугольника равны $\beta$ и $\gamma$, то угол $\delta$ между медианой и высотой можно найти по формуле:

$\delta = \arctan\left(\frac{|\cot\beta - \cot\gamma|}{2}\right)$

или в эквивалентной форме:

$\delta = \arctan\left(\frac{|\sin(\beta - \gamma)|}{2\sin\beta\sin\gamma}\right)$