Номер 3.83, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.83. В треугольнике длины двух сторон равны $a$ и $b$, а биссектриса угла между ними равна $l$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB = a$ и $AC = b$. Пусть $AD=l$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Обозначим угол $\angle BAC$ как $2\alpha$, тогда биссектриса делит его на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$.

Площадь $S$ треугольника $ABC$ можно найти, используя формулу площади через две стороны и синус угла между ними:$S = \frac{1}{2} ab \sin(2\alpha)$.

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые его делит биссектриса $AD$.Площади этих треугольников равны:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} al \sin(\alpha)$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} bl \sin(\alpha)$

Таким образом, $S = S_{ABD} + S_{ACD} = \frac{1}{2} al \sin(\alpha) + \frac{1}{2} bl \sin(\alpha) = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S$:$\frac{1}{2} ab \sin(2\alpha) = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$\frac{1}{2} ab \cdot (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$.

Для невырожденного треугольника угол $2\alpha$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому $\alpha \in (0, \pi/2)$ и $\sin(\alpha) \neq 0$. Сократим обе части равенства на $\frac{1}{2}\sin(\alpha)$:$2ab \cos(\alpha) = l(a+b)$.

Отсюда выразим $\cos(\alpha)$:$\cos(\alpha) = \frac{l(a+b)}{2ab}$.

Теперь найдем $\sin(\alpha)$ через основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Поскольку $\alpha \in (0, \pi/2)$, то $\sin(\alpha) > 0$:$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}{4a^2b^2}} = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{2ab}$.

Подставим найденное выражение для $\sin(\alpha)$ в формулу площади $S = \frac{1}{2}l(a+b)\sin(\alpha)$:$S = \frac{1}{2}l(a+b) \cdot \frac{\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{2ab}$.

Упростив выражение, получаем окончательную формулу для площади треугольника:$S = \frac{l(a+b)\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{4ab}$.

Ответ: Площадь треугольника равна $S = \frac{l(a+b)\sqrt{4a^2b^2 - l^2(a+b)^2}}{4ab}$.